Цель изучения параграфа в профильных классах (с учащимися, интересующимися математикой) — овладение методом доказательства утверждений, распространяемых на множество всех натуральных чисел; развитие интуиции, логического и комбинаторного качеств мышления.
В те годы, когда отечественное математическое образование включало в свой состав элементы комбинаторики, изучение метода математической индукции было естественным началом соответствующих глав учебника (см., например, учебник «Алгебра и начала анализа для 9 класса», изданный в 1977 г. под редакцией А. Н. Колмогорова). Этим методом можно было строго доказать формулы для нахождения числа различных видов соединений. Очевидны мировоззренческое и общекультурное значения этого метода. Поэтому, несмотря на то, что в новых стандартах математического образования не предусмотрено знакомство учащихся с методом математической индукции, мы бы советовали учителям в профильных классах при наличии времени все же познакомить учащихся с этим методом, провести с его помощью обоснования ряда формул, не требуя от учащихся самостоятельного его применения.
В учебнике метод математической индукции введен с двумя целями — и как самоценный объект изучения, и как аппарат доказательства ряда формул, которые предлагаются для рассмотрения только учащимся, интересующимся математикой.
В результате изучения параграфа учащиеся должны понять суть метода математической индукции и уметь с его помощью доказывать справедливость равенств типа предложенных в упражнении 1.
Решение упражнений
2. 3) а) При n = 1 в левой части данного равенства имеем
(2n − 1)3 = (2 · 1 − 1)3 = 13 = 1,
в правой части — n2 (2n2 − 1) = 12 · (2 · 12 − 1) = 1, т. е. равенство верно.
б) Пусть данное равенство верно для некоторого натурального n. Докажем, что тогда оно верно и для следующего натурального числа n + 1, т. е. что верно равенство
13 + 33 + ... + (2n − 1)3 + (2(n + 1) − 1)3 = (n + 1)2 (2 (n + 1)2 − 1)
или (после преобразований в скобках) равенство
13 + 33 + ... + (2n − 1)3 + (2n + 1)3 = (n + 1)2 (2n2 + 4n + 1). (*)
Прибавив к обеим частям верного по предположению исходного равенства число (2n + 1)3, получим верное равенство
13 + 33 + ... + (2n − 1)3 + (2n + 1)3 = п2 (2п2 − 1) + (2n + 1)3.
Преобразуем правую часть последнего равенства, получив
n2 (2n2 − 1) + (2n + 1)3 = 2n4 − n2 + 8n3 + 12n2 + 6n + 1 =
= 2n4 + 8n3 + 11n2 + 6n + 1 = (n + 1)2 (2n2 + 4n + 1), что убеждает в верности равенства (*). Заметим, что представление многочлена четвертой степени в виде произведения учащиеся могут осуществить делением этого многочлена на «ожидаемый множитель» n2 + 2n + 1 = (n + 1)2. Следовательно, предложенное равенство верно для любого натурального п.
| 