Цель изучения параграфа учащимися общеобразовательных классов — формирование графического представления о непрерывности функции; учащимися профильных классов — обучение выявлению непрерывных функций с опорой на определение непрерывности функции (в точке; на интервале).
Учащиеся общеобразовательных классов на уроке по этой теме восстанавливают графические умения, вспоминают вид графиков ранее изученных функций и выявляют среди них непрерывные и те, которые имеют точки разрыва (пользуясь графическими образами). После рассмотрения первых четырех абзацев параграфа выполняются упражнения 14—18. При этом учитель после построения графика каждой рассматриваемой функции ставит вопрос о непрерывности этой функции.
Итогом урока в общеобразовательных классах может стать, например, перечень ранее изученных функций, непрерывных на всей числовой прямой (линейная, квадратичная, показательная, y = sin x, y = cos x), непрерывной при x > 0 (y = loga x); имеющих точки разрыва ( y= 1 x , y=tg x и др. ). С этой же целью можно использовать абзац текста параграфа, предшествующий определению 2.
В профильных классах материал параграфа можно начинать изучать с определения 1, а можно — с вводной части параграфа. Текст для интересующихся математикой изучается только с теми учащимися, которые познакомились с односторонними пределами. После рассмотрения теоретического материала и задач 1 и 2 текста параграфа выполняются (по выбору учителя) упражнения 15—20. При этом упражнения 15—19 выполняются с опорой на график функций, а при решении упражнения 20 проверяется выполнение условий а—в, приведенных после определения 1.
Встречающиеся в упражнениях 20—22 «кусочные» функции, заданные на конкретных интервалах в виде логарифмической или тригонометрической функции, непрерывны на области определения (см. абзац текста параграфа, предшествующий определению 2), а значит, имеют предел в каждой ее точке.
Желательно, чтобы учащиеся профильных классов получили представление о том, что для любой функции f (x), непрерывной на некотором интервале, lim x→a f(x)=f(a), где а принадлежит интервалу непрерывности.
В упражнениях 20 (3, 4), 21, 22 строгое обоснование непрерывности кусочно заданных функций должно проводиться с помощью односторонних пределов. Но можно, например, при решении упражнения 20 (4) рассуждать следующим образом.
1) Заметим, что способ задания функции таков, что можно считать, что f (x) = g (x) = sin x при x < π и f (x) = h (x) = 6 + x − π при x ≥ π.
2) Обратим внимание на то, что существуют интервалы, для которых х = π — внутренняя точка и на которых определены и f (x), и g (x), и h (x). Например, интервал (3; 4).
3) Подчеркнем очевидный факт: если на выбранном интервале lim x→π g(x)= lim x→π h(x)=A, то и lim x→π f(x)=A, причем A = f (π); если же lim x→π g(x)≠ lim x→π h(x), то в точке х = π функция f (x) имеет разрыв.
4) Проверяем: lim x→π g(x)=sin π=0, lim x→π h(x)=6+π−π=6, т. е. lim x→π g(x)≠ lim x→π h(x) .
5) Вывод: f (x) не является непрерывной в точке х = π.
В результате изучения параграфа все учащиеся должны уметь по графику функции определять промежутки непрерывности функции и точки разрыва (если они имеются) при выполнении упражнений типа 17—18; учащиеся профильных классов, используя строгое определение непрерывности функции, должны уметь выполнять упражнения типа 19 и 20.
Решение упражнений
20. 1) Функция не определена в точке x0 = −3, поэтому не является непрерывной в этой точке.
2) Функция определена в точке х0 = −2 и в ее окрестности. Если х ≠ −2, то у (х) = х + 2 и lim x→−2 y(x)=0. Так как у (−2) = 3, то lim x→−2 y(x)≠y(−2), значит, функция у (х) не является непрерывной в точке х = −2.
21. 1) Функция f (x) определена в точке х = 2 и ее окрестности. Если х ≠ 2, то f (x) = 1 − x2 и lim x→2 (1− x 2 )=−3. Так как f (2) = 3 · 2 − 9 = −3, то lim x→2 f(x)=f(2), следовательно, f (x) непрерывна в точке х = 2.
22. 1) Так как lim x→1 x<1 f(x)=1, lim x→1 x>1 f(x)=b, f (1) = 1 и lim x→1 x<1 |
