Цель изучения параграфа — ознакомление с обратными тригонометрическими функциями, их свойствами и графиками. Материал параграфа не является обязательным для изучения учащимися общеобразовательных классов, но ознакомить школьников с данным типом функций желательно. Для учащихся профильных классов изучение теоретического материала параграфа и решение задач необходимо. Прежде чем приступить к изучению темы, целесообразно повторить понятие взаимно обратных функций (10 кл., гл. IV, § 2) и определения арксинуса, арккосинуса и арктангенса числа. Повторение теоремы о взаимном расположении графиков взаимно обратных функций достаточно провести по рисункам (например, рис. 14). Затем выполнить самостоятельную работу (в трех вариантах).
1. Построить кривую, симметричную относительно прямой у = х графику функции у = sin x на промежутке [ − π 2 ; π 2 ] . 2. Построить кривую, симметричную относительно прямой у = х графику функции y = cos x на промежутке [0; π]. 3. Построить кривую, симметричную относительно прямой у = х графику функции у = tg x на промежутке ( − π 2 ; π 2 ) . В результате можно высказать предположение о том, что полученная кривая является графиком функции, обратной данной на заданном промежутке. Далее можно обратиться к тексту учебника и обосновать высказанное предположение. С учащимися общеобразовательных классов дальнейшую работу можно провести либо с помощью презентации, сделанной по тексту учебника, либо непосредственно по тексту учебника. По полученным в результате самостоятельной работы по вариантам, сформулированным выше, рисункам «прочитать» свойства функций и проследить их применение при решении задач 1 и 2. С учащимися профильных классов по ходу изучения параграфа целесообразно повторять свойства и графики функций y = sin x, у = cos x, y = tg x (выполняя в классе и дома упражнения на построение графиков, которые не успели решить ранее, например, 47—49, 70—72, 91—93). Построить график функции у = arcctg x и сформулировать ее свойства учащиеся профильных классов могут самостоятельно, по аналогии с функцией у = arctg x. Распределение материала параграфа по урокам отражено в таблицах.
Общеобразовательные классы
Номер урока
Теоретический материал
Упражнения
основные для работы в классе и дома
для самостоятельной работы в классе
дополнительные
1
§ 6, до задачи 3
95, 96, 98 (1), 99 (1)
95 (3), 96 (3)
103
Профильные классы
Номер урока
Теоретический материал
Упражнения
основные для работы в классе и дома
для самостоятельной работы в классе
дополнительные
1
§ 6, до задачи 2
95—97
95 (3), 96 (3), 97 (3)
104
2
§ 6, задачи 2, 3
98—101
98 (3), 99 (3), 100 (3)
105
3
§ 6, задача 4
102—103
Свойства функции y = ctg x
106
В результате изучения параграфа учащиеся профильных классов должны уметь исследовать функции, выполнять построение графиков, применять свойства функции в упражнениях типа 98—101.
Решение упражнений
105. Обозначим arccos x = а, где x ∈ [−1; 1]. По определению арккосинуса имеем 0 ≤ а ≤ π, cos a = х. Тогда по свойствам неравенств − π ≤ −а ≤ 0, откуда 0 ≤ π − а ≤ π. По формуле приведения cos (π − а) = −cos a = −х. Следовательно, по определению арккосинуса имеем arccos (−x) = π — arccos x для любого x ∈ [−1; 1].
