Цель изучения параграфа — знакомство с понятием производной функции в точке и ее физическим смыслом, формирование начальных умений находить производные элементарных функций на основе определения производной. В начале первого урока в качестве подготовительных к изучению основного материала могут быть выполнены следующие задания: 1. Найти f (2), f (а), f (а + 2), f (а + 2) − f (а), если f (x) = 5x + 3. 2. Найти f (3), f (t + h ), f (t + h) − f (t), если f (t) = t2 + 1. Так как мгновенная скорость определяется через понятие средней скорости, желательно вспомнить с учащимися, как находится средняя скорость движения. Сделать это можно, например, в ходе решения следующей задачи: Расстояние от А до В равно 36 км. Первую половину пути велосипедист преодолел за 1 ч. Вторую половину пути он проехал за 2 ч. Какова средняя скорость движения велосипедиста на участке АВ? После этой задачи можно выполнить (при ведущей роли учителя) упражнение 26 (1). Затем для подготовки учащихся к использованию понятия разностного отношения и соответствующей ему символики можно дополнить упражнение 26 (1) следующим заданием:
Найти среднюю скорость движения тела за промежуток времени от t до t + h (h > 0), если оно движется по закону s (t) = 1 + 5t. Решение. Время движения равно (t + h) − t = h; v ср. = s(t+h)−s(t) h = 1+5(t+h)−(1+5t) h = 5h h =5.
Затем можно перейти к рассмотрению материала учебника и ввести понятие мгновенной скорости. В общеобразовательных классах вместо примера с движением материальной точки по закону s= g t 2 2 можно рассмотреть пример с движением точки по закону s (t) = 3t2 таким образом, чтобы учащиеся смогли углубить представление о пределе функции.
Если s (t) = 3t2, то на отрезке времени [t; t + h] v ср. = s(t+h)−s(t) h = 3 (t+h) 2 −3 t 2 h = 6th+3 h 2 h =6t+3h. Подсчитаем средние скорости за различные промежутки времени h, начиная, например, с момента времени t = 1, и заполним таблицу.
Очевидно, что при уменьшении h (h→0) значения средней скорости приближаются к значению мгновенной скорости, т. е. v(t)= lim h→0 v ср. = lim h→0 (6t+3h)=6t=6⋅1=6.
Существует много прикладных задач, для решения которых нужно находить скорость изменения некоторой функции, например, задачи о нахождении мгновенной величины тока в электрической цепи, о нахождении линейной плотности неоднородного стержня, теплоемкости тела при нагревании, угловой скорости вращающегося тела, о скорости химической реакции и др. Учащимся профильных классов после введения физического смысла производной стоит показать (при наличии дополнительного времени) решение еще одной физической или химической задачи с применением аппарата математического анализа. Это будет способствовать формированию представлений учащихся об универсальности и широкой применимости математических методов. Например, можно рассмотреть задачу о теплоемкости тела.
Чтобы температура тела массой 1 г повысилась от 0° до Т °, телу необходимо сообщить определенное количество тепла Q. Значит, Q есть функция температуры Т, до которой тело нагревается: Q = Q (T). Пусть температура тела повысилась с Т0 до Т. Количество тепла, затраченное для этого нагревания, равно Q (T) − Q (T0). Отношение Q(T)−Q( T 0 ) T− T 0 есть количество тепла, которое необходимо в среднем для нагревания тела на 1° при изменении температуры от Т0 до Т. Это отношение называется средней теплоемкостью данного тела в температурном промежутке [Т0; Т] и обозначается Сср. Так как средняя теплоемкость не дает представления о теплоемкости для любого значения Т, то вводится понятие теплоемкости при данной температуре Т0 (в данной точке Т0). Теплоемкостью при температуре T0 называется предел lim T→ T 0 C ср. = lim T→ T 0 Q(T)−Q( T 0 ) T− T 0 = Q ′ ( T 0 ) . Итак, теплоемкость С (Т) при температуре Т есть производная от количества тепла Q (T).
При наличии времени (с целью подготовки учащихся к осознанию сути понятия производной в точке, а также в перспективе к восприятию графического смысла производной) понятия средней и мгновенной скорости прямолинейного движения могут быть проиллюстрированы с помощью графиков зависимости пути от времени. Так, с помощью рисунка 19, а можно наглядно обосновать связь средней скорости движения на отрезке и «крутизны» графика функции s = s (t) на этом отрезке. Рисунок 19, б иллюстрирует знакомое учащимся свойство постоянства средней и мгновенной скоростей при равномерном прямолинейном движении. С помощью рисунка 19, в иллюстрируется поведение средней скорости точки (тангенса угла наклона секущей) за промежуток времени h (тем самым осуществляется пропедевтика геометрического смысла производной).
После введения общего определения производной функции в точке находить предел разностного отношения при h→0 учащиеся могут в три этапа: 1) найти разность f (x + h) − f (x); 2) составить разностное отношение f(x+h)−f(x) h и найти его преобразованное выражение; 3) найти предел разностного отношения при h→0. В профильных классах вводятся понятия функции, дифференцируемой в точке, дифференцируемой на промежутке. Рассмотренный в учебнике пример функции у = | x |, непрерывной, но не имеющей производной в точке х = 0, лучше предварительно записать с помощью ранее введенной символики:
f(0+h)−f(0) h = f(h)−f(0) h = | h | h = { 1, если h>0, −1, если h<0. Для большинства учащихся в ситуации, когда теория пределов рассматривалась лишь в ознакомительном плане, отсутствие предела функции у = | х | в точке х = 0 становится понятным на наглядно-интуитивном уровне лишь после знакомства с геометрическим смыслом производной. В конце урока проводится небольшая самостоятельная работа с проверкой в классе. 1. Используя определение производной, найти производную функции f (x) = 4 − 7x [f (x) = 3 − 5x]. 2. Найти мгновенную скорость движения точки, движущейся по закону s (t) = 2t2 − 3 [s (t) = 4t2 − 1]. 3. (Для профильных классов.) Дана функция
f(x)= 1 6 x 3 +4x [ f(x)= 1 9 x 3 +2x ]. Найти f ′ (x) в точке х = 8 [х = 6]. Распределение материала параграфа по урокам представлено в таблицах.
Общеобразовательные классы
Номер урока
Теоретический материал
Упражнения
основные для работы в классе и дома
для самостоятельной работы в классе
дополнительные
1
§ 4: 1) до определения производной; 2) определение производной, задача 1
26, 27
23, 24 (1, 2)
28
2
§ 4, задачи 2—4
24 (3, 4), 25
Проверочная самостоятельная работа
29
Профильные классы
Номер урока
Теоретический материал
Упражнения
основные для работы в классе и дома
для самостоятельной работы в классе
дополнительные
1
§ 4, до задачи 2
26—28, 23, 24 (1, 2)
29
2
§ 4, задачи 2—4
24 (3, 4), 25
Проверочная самостоятельная работа
В результате изучения параграфа все учащиеся должны знать понятие мгновенной скорости движения и определение производной функции в точке; уметь выполнять упражнения типа 24, а учащиеся профильных классов уметь выполнять упражнения типа 28.
