Пятница, 15.01.2021, 21:30
Ш  К  О  Л  А     П  И  Ф  А  Г  О  Р  А
      Предмет математики настолько серьезен, что нужно
не упускать случая, сделать его немного занимательным".
                                                                           Блез Паскаль
Главная | Регистрация | Вход Приветствую Вас Гость | RSS
ПАМЯТКИ ПО МАТЕМАТИКЕ   ВЕЛИКИЕ МАТЕМАТИКИ   ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ   МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
УРОКИ МАТЕМАТИКИ В ШКОЛЕ


МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КЛАДОВАЯ


В МИРЕ ЗАДАЧ
ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ
МАТЕМАТИКА В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ
ВАРИ, КОТЕЛОК!
УДИВИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
В МИРЕ ИНТЕРЕСНОГО
Категории раздела
10 КЛАСС [78]
11 КЛАСС [65]
Статистика

Онлайн всего: 3
Гостей: 3
Пользователей: 0
Форма входа

Главная » Файлы » ПРЕПОДАЕМ АЛГЕБРУ И НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА » 11 КЛАСС

Определение производной
27.10.2014, 09:46
      Цель изучения параграфа — знакомство с понятием производной функции в точке и ее физическим смыслом, формирование начальных умений находить производные элементарных функций на основе определения производной.
      В начале первого урока в качестве подготовительных к изучению основного материала могут быть выполнены следующие задания:
      1.  Найти f (2), f (а), f (а + 2), f (а + 2) − f (а), если f (x) = 5x + 3.
      2.  Найти f (3), f (t +  h ), f (t +  h) −  f (t), если f (t) =  t2 + 1.
      Так как мгновенная скорость определяется через понятие средней скорости, желательно вспомнить с учащимися, как находится средняя скорость движения. Сделать это можно, например, в ходе решения следующей задачи:
      Расстояние от А до В равно 36 км. Первую половину пути велосипедист преодолел за 1 ч. Вторую половину пути он проехал за 2 ч. Какова средняя скорость движения велосипедиста на участке АВ?
      После этой задачи можно выполнить (при ведущей роли учителя) упражнение 26 (1). Затем для подготовки учащихся к использованию понятия разностного отношения и соответствующей ему символики можно дополнить упражнение 26 (1) следующим заданием:


      Найти среднюю скорость движения тела за промежуток времени от t до t + h (h > 0), если оно движется по закону s (t) = 1 + 5t.
      Решение.
      Время движения равно (t + h) − t = h;
       v ср. = s(t+h)−s(t) h = 1+5(t+h)−(1+5t) h = 5h h =5.

      Затем можно перейти к рассмотрению материала учебника и ввести понятие мгновенной скорости.
      В общеобразовательных классах вместо примера с движением материальной точки по закону s= g t 2 2 можно рассмотреть пример с движением точки по закону s (t) = 3t2 таким образом, чтобы учащиеся смогли углубить представление о пределе функции.


      Если s (t) = 3t2, то на отрезке времени [t; t + h]
       v ср. = s(t+h)−s(t) h = 3 (t+h) 2 −3 t 2 h = 6th+3 h 2 h =6t+3h.
      Подсчитаем средние скорости за различные промежутки времени h, начиная, например, с момента времени t = 1, и заполним таблицу.

      Очевидно, что при уменьшении h (h→0) значения средней скорости приближаются к значению мгновенной скорости, т. е. v(t)= lim⁡ h→0 v ср. = lim⁡ h→0 (6t+3h)=6t=6⋅1=6.

      Существует много прикладных задач, для решения которых нужно находить скорость изменения некоторой функции, например, задачи о нахождении мгновенной величины тока в электрической цепи, о нахождении линейной плотности неоднородного стержня, теплоемкости тела при нагревании, угловой скорости вращающегося тела, о скорости химической реакции и др.
      Учащимся профильных классов после введения физического смысла производной стоит показать (при наличии дополнительного времени) решение еще одной физической или химической задачи с применением аппарата математического анализа. Это будет способствовать формированию представлений учащихся об универсальности и широкой применимости математических методов. Например, можно рассмотреть задачу о теплоемкости тела.


      Чтобы температура тела массой 1 г повысилась от 0° до Т °, телу необходимо сообщить определенное количество тепла Q. Значит, Q есть функция температуры Т, до которой тело нагревается: Q = Q (T). Пусть температура тела повысилась с Т0 до Т. Количество тепла, затраченное для этого нагревания, равно Q (T) − Q (T0). Отношение Q(T)−Q( T 0 ) T− T 0 есть количество тепла, которое необходимо в среднем для нагревания тела на 1° при изменении температуры от Т0 до Т. Это отношение называется средней теплоемкостью данного тела в температурном промежутке [Т0; Т] и обозначается Сср.
      Так как средняя теплоемкость не дает представления о теплоемкости для любого значения Т, то вводится понятие теплоемкости при данной температуре Т0 (в данной точке Т0).
      Теплоемкостью при температуре T0 называется предел
lim⁡ T→ T 0   C ср.  =  lim⁡ T→ T 0   Q(T)−Q( T 0 ) T− T 0  =  Q ′ ( T 0 ) .
      Итак, теплоемкость С (Т) при температуре Т есть производная от количества тепла Q (T).

      При наличии времени (с целью подготовки учащихся к осознанию сути понятия производной в точке, а также в перспективе к восприятию графического смысла производной) понятия средней и мгновенной скорости прямолинейного движения могут быть проиллюстрированы с помощью графиков зависимости пути от времени. Так, с помощью рисунка 19, а можно наглядно обосновать связь средней скорости движения на отрезке и «крутизны» графика функции s = s (t) на этом отрезке. Рисунок 19, б иллюстрирует знакомое учащимся свойство постоянства средней и мгновенной скоростей при равномерном прямолинейном движении. С помощью рисунка 19, в иллюстрируется поведение средней скорости точки (тангенса угла наклона секущей) за промежуток времени h (тем самым осуществляется пропедевтика геометрического смысла производной).


      После введения общего определения производной функции в точке находить предел разностного отношения при h→0 учащиеся могут в три этапа: 1) найти разность f (x + h) − f (x); 2) составить разностное отношение f(x+h)−f(x) h и найти его преобразованное выражение; 3) найти предел разностного отношения при h→0.
      В профильных классах вводятся понятия функции, дифференцируемой в точке, дифференцируемой на промежутке. Рассмотренный в учебнике пример функции у = | x |, непрерывной, но не имеющей производной в точке х = 0, лучше предварительно записать с помощью ранее введенной символики:

f(0+h)−f(0) h  =  f(h)−f(0) h  =  | h | h  = { 1, если h>0, −1, если h<0.
      Для большинства учащихся в ситуации, когда теория пределов рассматривалась лишь в ознакомительном плане, отсутствие предела функции у = | х | в точке х = 0 становится понятным на наглядно-интуитивном уровне лишь после знакомства с геометрическим смыслом производной.
      В конце урока проводится небольшая самостоятельная работа с проверкой в классе.
      1.  Используя определение производной, найти производную функции f (x) = 4 − 7x   [f (x) = 3 − 5x].
      2.  Найти мгновенную скорость движения точки, движущейся по закону s (t) = 2t2 − 3   [s (t) = 4t2 − 1].
      3.  (Для профильных классов.) Дана функция

f(x)= 1 6 x 3 +4x [ f(x)= 1 9 x 3 +2x ].
      Найти f ′ (x) в точке х = 8   [х = 6].
      Распределение материала параграфа по урокам представлено в таблицах.

Общеобразовательные классы

Номер урока
    

Теоретический материал
    

Упражнения

основные для работы в классе и дома
    

для самостоятельной работы в классе
    

дополнительные

1
    

§ 4: 1) до определения производной;
2) определение производной, задача 1
    

26, 27

23, 24 (1, 2)
    

 
    

28

2
    

§ 4, задачи 2—4
    

24 (3, 4), 25
    

Проверочная самостоятельная работа
    

29

Профильные классы

Номер урока
    

Теоретический материал
    

Упражнения

основные для работы в классе и дома
    

для самостоятельной работы в классе
    

дополнительные

1
    

§ 4, до задачи 2
    

26—28, 23, 24 (1, 2)
    

 
    

29

2
    

§ 4, задачи 2—4
    

24 (3, 4), 25
    

Проверочная самостоятельная работа
    

 

      В результате изучения параграфа все учащиеся должны знать понятие мгновенной скорости движения и определение производной функции в точке; уметь выполнять упражнения типа 24, а учащиеся профильных классов уметь выполнять упражнения типа 28.
Категория: 11 КЛАСС | Добавил: admin | Теги: Методика преподавания математики в, Уроки математики, советы по преподаванию алгебры в 11, поурочное планирование алгебры в 11
Просмотров: 1290 | Загрузок: 0 | Рейтинг: 0.0/0
УЧИТЕЛЮ ИНФОРМАТИКИ
КОНСПЕКТЫ УРОКОВ
ВНЕКЛАССНЫЕ МЕРОПРИЯТИЯ ПО ИНФОРМАТИКЕ
ПОСОБИЯ И МЕТОДИЧКИ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ ИНФОРМАТИКИ
ИЗ ОПЫТА РАБОТЫ УЧИТЕЛЯ ИНФОРМАТИКИ
ЗАДАНИЯ ШКОЛЬНОЙ ОЛИМПИАДЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ


ИНФОРМАТИКА В ШКОЛЕ


ИНФОРМАТИКА В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ
ИНФОРМАТИКА В 3 КЛАССЕ
ИНФОРМАТИКА В 4 КЛАССЕ
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ. 3 КЛАСС
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ. 4 КЛАСС
ПРОГРАММИРОВАНИЕ ДЛЯ ДЕТЕЙ
СКАЗКА "ПРИКЛЮЧЕНИЯ ЭЛЕКТРОШИ"
ИГРОВЫЕ ТЕХНОЛОГИИ НА УРОКАХ ИНФОРМАТИКИ
ИГРОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ИНФОРМАТИКЕ
ВИКТОРИНЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ
КОМПЬЮТЕРНЫЕ ЧАСТУШКИ
ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ
Поиск


Друзья сайта
  • Создать сайт
  • Все для веб-мастера
  • Программы для всех
  • Мир развлечений
  • Лучшие сайты Рунета
  • Кулинарные рецепты

  • Copyright MyCorp © 2021
    Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru