Цель изучения параграфа — знакомство с первым видом соединений — перестановками; демонстрация применения правила произведения при выводе формулы числа перестановок из n элементов.
При знакомстве уже с первым видом изучаемых в школе соединений (с перестановками) учитель должен сфокусировать внимание учащихся на том, что элементы в соединениях нужно мысленно представлять выстроенными в ряд (в разных учебниках можно встретить разные специальные названия такого ряда, например, кортежи, цепочки). В одних видах соединений (перестановках, размещениях) важна последовательность, очередность расположения элементов в этом ряду. В других видах соединений (сочетаниях) важна лишь конкретная совокупность элементов, находящихся в соединении, и не важно, в какой последовательности эти элементы «выстроятся в ряд».
Такое представление об организации соединений важно для однозначного восприятия всеми учащимися фабулы текстовых комбинаторных задач, для выделения существенных признаков конкретного вида соединения. В противном случае, например, при рассмотрении задачи 1 текста параграфа некоторые учащиеся могут задавать учителю вопросы такого типа: «А установка одной книжки корешком наружу или корешком внутрь — это разные способы поставить книги?»
Со всеми учащимися теоретический материал параграфа до символа «М» рассматривается на первом уроке, закрепляется при выполнении упражнений, а проверяется во второй половине второго урока в ходе выполнения самостоятельной работы (15 мин).
1. Сколько различных четырехзначных чисел можно записать с помощью цифр 5, 6, 7, 8, 9? [Сколько различных трехзначных чисел можно записать с помощью цифр 0, 1, 2, 3, 4?]
2. Найти значение выражения 98! 100! [ 1000! 998! ] .
3. Упростить выражение P n+4 P n+3 [ P n+5 P n+6 ] .
4. Сколько различных шестизначных чисел, не содержащих одинаковых цифр, можно записать с помощью цифр 2, 3, 4, 5, 6, 7 так, чтобы последними были цифры 5 и 6, записанные в любой последовательности [первой была цифра 7, а последней — либо цифра 2, либо цифра 3].
С учащимися профильных классов, интересующимися математикой (при наличии дополнительного урока), изучается теория и практика перестановок с повторениями.
Распределение учебного материала по урокам отражено в таблицах.
Общеобразовательные классы
Номер урока
Теоретический материал
Упражнения
основные для работы в классе и дома
для самостоятельной работы в классе
дополнительные
1
§ 3, до символа «М»
18—20, 22
Найти значение P1; P2; P5
66, 26
2
21, 23—25
Проверочная самостоятельная работа
67
Профильные классы
Номер урока
Теоретический материал
Упражнения
основные для работы в классе и дома
для самостоятельной работы в классе
дополнительные
1
§ 3, до символа «М»
18—23
22 (7), 23 (7)
66
2
67, 24, 69 (1, 2), 26, 27
Проверочная самостоятельная работа
28—30
(после рассмотрения текста для интересующихся математикой)
В результате изучения параграфа все учащиеся должны знать определение перестановок из n элементов и уметь выполнять упражнения типа 20, 23. Учащиеся профильных классов должны уметь выполнять упражнения типа 21, 24.
Решение упражнений
24. 3) Уравнение равносильно системе
{ 2(n−1)! (n+1)! −1=0, n−1≥1, n∈N; откуда { 2=n (n+1), n≥2, n∈N.
Корнями уравнения n2 + n − 2 = 0 являются числа n1 = −2, n2 = 1, при этом ни одно из них не удовлетворяет системе.
Ответ. Корней нет.
26. I способ. Число различных пятизначных чисел, составленных из указанных цифр, равно Р5. Все числа, кратные 5, получаются перестановками цифр 1, 2, 3, 4 на первых четырех местах при том, что последняя цифра равна 5 (в данном случае необходимое и достаточное условие кратности составленного числа числу 5), таких чисел P4. Число искомых в задаче чисел равно Р5 − Р4 = 5! − 4! = 120 − 24 = 96.
II способ. Последняя цифра числа, отличная от 5, может быть выбрана 4 способами, предпоследняя (после выбора последней) — 4 способами, третья цифра — 3 способами, вторая — 2 способами, первая цифра — единственная оставшаяся. Всего количество чисел, удовлетворяющих условию задачи, согласно правилу произведения равно 4 · 4 · 3 · 2 · 1 = 96.
27. 1) В данной задаче две книги одного автора можно считать «одной книгой». Решение задачи сводится к подсчету числа перестановок из 9 элементов.
28. 1) Задача сводится к подсчету числа перестановок с повторениями P ¯ 2, 1, 1 . Ответ. 12.
3) P ¯ 1, 1, 2, 1 = 5! 1!⋅1!⋅2!⋅1! =3⋅4⋅5=60 .
5) P ¯ 1, 3, 1, 1, 1 = 7! 3! =4⋅5⋅6⋅7=840 .
7) P ¯ 2, 3, 2, 1, 1, 1 = 10! 2!3!2! =5⋅6⋅7⋅8⋅9⋅10=151200 .
29. Пусть книги занумерованы числами от 1 до 6. Во всевозможных перестановках из этих книг одному брату достаются первые 2 книги, второму — следующие 2 книги, третьему — последняя пара книг (число перестановок из 6 книг равно Р6 = 720). Каждому из братьев неважно, в какой последовательности он получил книги своей пары, т. е. искомое число способов будет в 2 · 2 · 2 = 8 раз меньше, чем P6, т. е. равно 720 : 8 = 90. Фактически в этой задаче находится P ¯ 2, 2, 2 = 6! 2!2!2! =90 . |
