Цель изучения параграфа — ознакомление с понятием первообразной, обучение нахождению первообразной для степенной и тригонометрических функций.
Изучение материала параграфа полезно начать с повторения понятия производной и ее физического смысла на примере задачи о мгновенной скорости. Далее, следуя тексту учебника, нужно поставить задачу о нахождении закона движения по данному закону изменения скорости и перейти к определению первообразной и задаче 1. Сформулированное после задачи 1 замечание фактически представляет собой определение первообразной на отрезке. На данном этапе с этим замечанием достаточно познакомить учащихся профильных классов, но вернуться к нему при изучении § 3. Можно пояснить школьникам, интересующимся математикой, что под производной функции на концах отрезка [а; b] понимаются правая и левая производные:
F ′ (a)= lim h→0 h>0 F(a+h)−F(a) h , F ′ (b)= lim h→0 h<0 F(b+h)−F(b) h .
Задания в упражнении 1 аналогичны задаче 1 и способствуют формированию первых представлений учащихся о первообразной.
Выполнение заданий 1) и 2) из этого упражнения подготовит учащихся к нахождению первообразной для степенной функции, которая в общем виде формулируется в задаче 2. Остальные задания упражнения 1 позволят повторить таблицу производных, правила нахождения производных и послужат пропедевтикой формирования представления о неоднозначности первообразной.
Тот факт, что если F′ (x) = 0 на некотором интервале (а; b) и функция F (х) непрерывна на отрезке [а; b], то F (х) = С на отрезке [а; b], где С — постоянная, был доказан в предыдущей главе. В общеобразовательных классах это утверждение поясняется, опираясь на геометрический смысл производной (для большей наглядности можно использовать рисунок учебника). Опираясь на него, в профильных классах доказывается теорема, которая и показывает, что первообразные для одной и той же функции могут отличаться лишь на постоянную величину. Теперь можно говорить о нахождении всех первообразных функции, что и делается в задаче 3.
Следует обратить внимание учащихся на то, что в таблице первообразных для функции 1 x первообразная определяется для x < 0, x > 0 как ln | x | + С.
Затем рассматривается расположение графиков первообразных и решается задача 4 текста учебника. После нее полезно выполнить упражнение 4 (4).
4. 4) f(x)= x , следовательно, F(x)= x 1 2 +1 1 2 +1 +C. По условию график F (х) проходит через точку М (9; 10), т. е. F (9) = 10, откуда 9 3 2 3 2 +C=10, С = −8, поэтому F(x)= 2 3 x x −8.
К упражнениям учебника можно добавить, например, такое:
Тело движется прямолинейно, его скорость задается формулой v (t) = 1 + 3t. Найти закон движения этого тела, если в момент времени t = 4 тело находилось на расстоянии 20 ед. от начала движения.
На втором уроке можно предложить самостоятельную работу, которую желательно проверить непосредственно после выполнения.
1. Показать, что функция F(x)= x 6 6 , [ F(x)= x 7 7 ] является первообразной для функции f (x) = х7 [f (x) = х6] на всей числовой прямой.
2. Найти все первообразные для функции f(x)= x 2 5 [ f(x)= x 3 4 ] .
3. Для функции f(x)= x 2 [ f(x)= 1 x 2 ] найти первообразную, график которой проходит через точку М (3; 1) [А (0,5; 4)].
В результате изучения параграфа все учащиеся должны знать определение первообразной и уметь выполнять упражнения, такие, как 1, 4 (1, 2). Учащиеся профильных классов, кроме того, должны уметь доказывать теорему и выполнять упражнения типа 3, 4.
| 