В главе II рассматривался как механический, так и геометрический смысл производной. На языке функций и их графиков он раскрывался в идее линеаризации: замена криволинейного участка графика прямолинейным означала замену неравномерного движения равномерным, а также замену некоторой дуги кривой отрезком касательной. Та же идея реализуется и при рассмотрении интеграла. С точки зрения механики скорость прямолинейного движения определяется как производная пути по времени: если некоторая точка прошла путь s (t), то ее мгновенная скорость v (t) = s′ (t). Если рассмотреть обратную задачу — нахождение пути, пройденного точкой с заданной скоростью v (x), то придем к функции s (t), которую называют первообразной функции v (t), т. е. такой функцией, что s′ (t) = v (t). Так как производная постоянной равна нулю, то первообразная определяется с точностью до постоянной. Например, (х2)′ = 2х и (х2 + 3)′ = 2х, и поэтому первообразной функции у = 2х является функция у = х2 + С, где С — произвольная постоянная. Если скорость меняется по закону v = v (t) и ее графиком является некоторая кривая (рис. 24), то путь, пройденный точкой за промежуток времени [t; t + h], приближенно равен площади (закрашенного) прямоугольника со сторонами, длины которых равны v (t) и h, т. е. s = v (t) h. Точное значение пути s (t) будет равно площади криволинейной трапеции, образованной кривой v (t), осью Ох и прямыми v (t) и v (t + h).
Если в заданную кривую v (t) вписать некоторую ломаную, то s (t) можно вычислить с лучшим приближением (чем в случае v (t) h), заменив площадь криволинейной трапеции суммой площадей прямоугольников разбиения. Чем меньше будет основание каждого прямоугольника, тем ближе сумма площадей прямоугольников будет выражать площадь криволинейной трапеции. Так, процесс линеаризации приводит к понятию определенного интеграла. Учебный материал главы строится так, что сначала определяется операция интегрирования как операция, обратная дифференцированию, далее вводится понятие первообразной, при этом не вводится ни определение неопределенного интеграла, ни его обозначение. Таблица правил интегрирования (т. е. таблица первообразных), естественно, в этом случае получается из таблицы производных. Формулируется утверждение, что все первообразные для функции f (x) выражаются как F (х) + С, где F (х) — первообразная, найденная в таблице. Этот факт строго не доказывается, а только поясняется. Связь между первообразной и площадью криволинейной трапеции устанавливается формулой Ньютона — Лейбница. Далее возникает определенный интеграл как предел интегральной суммы; при этом формула Ньютона — Лейбница также оказывается справедливой. Таким образом, эта формула является главной: с ее помощью вычисляются определенные интегралы и находятся площади криволинейных трапеций. Простейшие дифференциальные уравнения и применение производной и интеграла к решению физических задач (§ 5, 6) даются в общеобразовательных классах в ознакомительном плане. Учащиеся профильных классов знакомятся с задачами нахождения пути по заданной скорости, вычислением работы переменной силы, задачами о размножении бактерий и о радиоактивном распаде более подробно, чем школьники общеобразовательных классов, и учатся решать простейшие дифференциальные уравнения. Желательно, чтобы учащиеся усвоили основные идеи интегрального исчисления. Не следует усложнять и без того трудный для школьников учебный материал. Система упражнений не содержит действительно трудных задач по теме, так как цель данного курса — ознакомить с основами интегрального исчисления: сформировать первичные умения применять теоретический материал, дать представление о возможности применения интеграла в простейших случаях. Более глубокое изучение данной темы — задача вуза, где рассматривается интеграл под тем углом зрения, который необходим в соответствующей сфере деятельности. В результате изучения главы все учащиеся должны знать правила нахождения первообразных основных элементарных функций, формулу Ньютона — Лейбница и уметь их применять к вычислению площадей криволинейных трапеций при решении задач типа 39, 40 (1, 2), 41 и из рубрики «Проверь себя!» (задания 1, 2, 4). Учащиеся профильных классов должны, кроме того, уметь решать задачи, такие как 40, 44, 45 (1, 2).
