Площадь криволинейной трапеции. Интеграл и его вычисление
26.10.2014, 22:42
Цель изучения параграфа — формирование понятия криволинейной трапеции, ознакомление с понятием определенного интеграла, обучение вычислению площади криволинейной трапеции в простейших случаях. Материал параграфа дается на наглядно-интуитивном уровне, поэтому учителю не следует требовать от учащихся воспроизведения каких-либо рассуждений, приведенных в тексте учебника. Представление о криволинейной трапеции учащиеся должны получить, изучая рисунки 86—93 учебника (имеет смысл перенести их на кодопленку, в таблицу или использовать программу GRAPH 16). Каждый раз, распознавая на этих рисунках график функции, непрерывной и неотрицательной на отрезке [a; b], положительной на интервале (a; b), и прямые х = а и х = b, у = 0, учащиеся еще и еще раз выявляют особенности фигуры, которая называется криволинейной трапецией. Естественно возникает вопрос о возможности вычисления площади полученной фигуры. Рассматривая задачу на вычисление площади криволинейной трапеции с помощью площади многоугольника, представляющего собой объединение прямоугольников, можно использовать рисунок 24. Тогда утверждение о том, что при достаточно малых значениях h площадь криволинейной трапеции приблизительно равна f (x) h, становится более наглядным. Важно, чтобы ученик увидел следующий алгоритм в рассуждениях о нахождении площади криволинейной трапеции: 1) разбиваем [a; b] на n частей (необязательно равных); 2) составляем суммы, которые называют интегральными; 3) находим предел, к которому стремятся интегральные суммы и который в результате и является площадью трапеции. Интегральные суммы появляются, когда начинаем увеличивать число точек разбиения отрезка так, чтобы длина наибольшего из отрезков стремилась к нулю. Если рассматривать любую непрерывную на отрезке функцию (необязательно неотрицательную), то можно вновь составить интегральные суммы и найти их предел на данном отрезке, который и назовем определенным интегралом. Далее вводим формулу Ньютона — Лейбница, которая помогает вычислять интегралы. Для учащихся общеобразовательных классов никаких теоретических рассуждений проводить не следует. Ученики переходят к решению задач 1 и 2, в которых фактически и кроется применение интеграла для вычисления площади криволинейной трапеции в простейших случаях. При решении задач на нахождение площади криволинейной трапеции важно, чтобы учащиеся грамотно делали чертеж и могли его использовать для иллюстрации решения: на этом этапе вычисление интеграла вторично, главное — вычисление площади. Учащимся профильных классов необходимо геометрически пояснить появление формулы Ньютона — Лейбница. Достаточно, чтобы это сделал учитель, не требуя воспроизведения от учащихся. Начать решение задач целесообразно с выяснения, является ли данная на рисунке 25 фигура криволинейной трапецией, затем по рисункам 26—30 только записать формулу Ньютона — Лейбница для нахождения площади и далее перейти к выполнению упражнений 14, 15. Учащимся общеобразовательных классов этим можно ограничиться.
Для учащихся профильных классов полезно выполнить упражнения 16—18, так как умение вычислять интегралы пригодится при вычислении площадей криволинейных трапеций. Рекомендуется обратить внимание учащихся профильных классов на выполнение упражнения 19, где по данному интегралу нужно изобразить трапецию, площадь которой определяется вычислением данного интеграла.
В результате изучения параграфа все учащиеся должны уметь изображать криволинейную трапецию, знать формулу Ньютона — Лейбница и уметь ее применять при решении упражнений, таких, как 14, 15. Учащиеся профильных классов, кроме этого, должны уметь решать упражнения, такие, как 17, 19.
