Цель изучения параграфа — формирование у всех учащихся умения строить графики функций-многочленов с помощью первой производной, у учащихся профильных классов — с привлечением аппарата второй производной.
Учащиеся общеобразовательных классов рассматривают лишь решение задачи 2 параграфа, после чего формулируется алгоритм исследования функции с помощью первой производной и построения ее графика: 1) найти область определения функции; 2) выяснить, является ли функция четной (нечетной), периодической; 3) найти точки пересечения графика с осями координат (после нахождения f (0) и корней уравнения f (x) = 0); 4) найти промежутки знакопостоянства функции (решить неравенства f (x) > 0 и f (x) < 0); 5) найти f ′ (x); найти стационарные точки (решить уравнение f ′ (x) = 0); 6) найти промежутки возрастания и убывания функции (решить неравенства f ′ (x) > 0 и f ′ (x) < 0); 7) найти точки экстремума функции и ее значения в точках экстремума; 8) занести результаты исследования в таблицу; отметить на координатной плоскости точки, через которые пройдет график функции; изобразить график функции.
Таблицу, аналогичную той, которая представлена в задаче 2, учащиеся могут заполнять одновременно с выполнением пп. 5—7 сформулированного алгоритма.
Умение строить график функции, содержащий точки, в которых функция не определена (как, например, в упражнении 44) не является обязательным для учащихся общеобразовательных классов. Если же учитель показывает построение графиков таких функций, то перед построением графика желательно порекомендовать учащимся провести пунктирные вертикальные линии через те точки на оси абсцисс, в которых функция не определена (график функции их нигде не пересечет). Эти линии — вертикальные асимптоты графика (например, в упражнении 44 (3) такая линия — прямая х = −2).
Можно порекомендовать учащимся для более точного построения графика заданной функции всегда находить несколько дополнительных точек, принадлежащих графику, как это сделано в задаче 2 текста параграфа.
Для самостоятельной работы учащимся можно порекомендовать построить график конкретной квадратичной функции, находя вершину параболы как точку экстремума.
Учащиеся профильных классов изучают материал параграфа в последовательности, предложенной учебником; не рассматриваются задача 2 (где исследование функции проводится без аппарата второй производной) и доказательство теоремы (оно предложено лишь для учащихся, интересующихся математикой).
В результате изучения параграфа все учащиеся должны уметь строить графики функций, аналогичных заданным в упражнениях 42, 43 (с помощью первой производной), а учащиеся профильных классов — в упражнениях типа 47—49 (с помощью аппарата первой и второй производных).
Решение упражнения
52. Очевидно, x = 1 является корнем уравнения. Рассмотрим функцию f (x) = 1 − 2x + 2x3 − х5; f ′ (x) = −2 + 6x2 − 5x4. Если обозначить х2 = t, то функция g (t) = −2 + 6t − 5t2 принимает при любом t только отрицательные значения (а = −5 < 0, D = 36 − 40 < 0), значит, f ′ (x) < 0 при любом х, т. е. функция f (x) — убывающая на всей области определения (x ∈ R) и больше одного нуля не имеет. Ответ. Один действительный корень.
| 