Цель изучения параграфа всеми учащимися — овладение
правилами дифференцирования суммы, произведения и частного двух функций,
вынесения постоянного множителя за знак производной; учащимися
профильных классов — знакомство с дифференцированием сложной функции и
правилом нахождения производной обратной функции.
Применение рассматриваемых в параграфе правил дифференцирования иллюстрируется на комбинациях функций у = kx + b, у = х2, у = х3 и у = С, производные которых были найдены в § 4. Поэтому на первом уроке необходимо повторить формулы производных этих функций.
Материал параграфа изучается в соответствии с текстом учебника, причем после рассмотрения формулы (1) выполняется в классе упражнение 30 (1, 2), а после формулы (2) — упражнение 30 (3, 5). Упражнение 33 (5—6) желательно выполнять дважды: с использованием формулы (1), затем — (3).
При наличии времени в сильном общеобразовательном классе можно познакомить учащихся с производными сложной функции и обратной функции.
На втором уроке в общеобразовательных классах после изучения формулы (3) рассматривается материал п. 2, связанный с обоснованием формулы (f (kx + b))′ = kf ′ (kx + b). После этого выполняется упражнение 35, где производная функции может быть найдена двумя способами.
I способ. f (x) = (2x − 3)2 (x − 1) = (4х2 − 12x + 9) (x − 1);
f ′ (x) = (4x2 − 12x + 9)′ (x − 1) + (4x2 − 12x + 9) (x − 1)′ =
= (8x − 12) (x − 1) + (4x2 − 12x + 9) · 1 =
= 8x2 − 8x − 12x + 12 + 4x2 − 12x + 9 = 12x2 − 32x + 21.
II способ. f ′ (x) = ((2x − 3)2 (x − 1))′ =
= ((2x − 3)2)′ (x − 1) + (2x − 3)2 (x − 1)′ =
= 2 (2x − 3) · 2 (x − 1) + (4x2 − 12x + 9) · 1 =
= 8x2 − 8x − 12x + 12 + 4x2 − 12x + 9 = 12x2 − 32x + 21.
На третьем уроке изучается формула (7) и отрабатывается ее применение. В конце урока проводится самостоятельная работа (с проверкой в классе).
1. Найти производную функции:
1) 3x2 − 7x3; 2) x3 (x2 − 5); 3) 3x−8 4−9x ; 4) (3x2 − 1)3
[1) 2x3 − 5x2; 2) (x3 − 2) x2; 3) 6−7x 5x+2 ; 4) (2x3 − 3)2].
2. (В профильных классах.) Записать формулой функцию f (g (x)), если f(y)= 3−5 y 2 3 , y = g (x) = sin x [ f(y)=cos y, y=g(x)= 8 x 2 −1 ].
В результате изучения параграфа все учащиеся должны уметь с помощью правил дифференцирования суммы, произведения и частного функций выполнять упражнения типа 32, 34, 36; учащиеся профильных классов должны уметь находить производные сложных функций в упражнениях, аналогичных 39.
Решение упражнений
45. 2) ((x3 − 2x2 + 3x + 2)3)′ = 3 (x3 − 2x2 + 3x + 2)2 (х3 − 2х2 + 3х + 2)′ =
= 3 (х3 − 2х2 + 3х + 2)2 (3x2 − 4х + 3). | 