Цель изучения параграфа — ознакомление с понятием интегрирования и обучение применению правил интегрирования при нахождении первообразных.
Изучая материал параграфа, учащиеся продолжают знакомиться с таблицей первообразных для элементарных функций и учатся применять правила интегрирования. Повторение формул и правил нахождения производных полезно провести при проверке таблицы первообразных и тех правил, по которым они будут находить первообразную для каждой функции. При этом следует сразу обратить внимание учащихся на тот факт, что первообразная и функция во всех рассмотренных примерах определены на одном и том же промежутке, т. е. функция F (х) является первообразной для функции f (x) на том промежутке, где они обе определены. Это важно, в частности, для правильного понимания того, что первообразная для функции f(x)= 1 x лишь для х > 0 равна ln x + С.
Если речь идет о всех действительных значениях х, кроме нуля, т. е. и о случае отрицательных значений x, то применяется общая формула и первообразная равна ln | x | + С.
Вторая таблица первообразных сложнее для применения и для запоминания, поэтому вполне возможно при решении упражнений учащимися общеобразовательных классов пользоваться учебником или вынести таблицу на плакат. Учащиеся профильных классов должны знать правило нахождения первообразной для функции от линейной функции, т. е. для функции f (kx + b), которое требует вынесения коэффициента 1 k . Таблицу первообразных заучивать не нужно.
Желательно вновь обратить внимание учащихся на функцию f (x) = ех и пояснить, что тот факт, что функция, ее производная и первообразная для нее имеют один и тот же вид, предопределяет важную роль данной функции в решении многих практических задач (подробнее об этом они могут узнать из § 6).
На конкретных примерах можно показать, что правило нахождения первообразной для функции, представленной в виде суммы функций, верно не только для суммы двух слагаемых, но и трех и более. Для чего выполнить упражнения 5 (3, 4), 6 (3, 4) и добавить, например, следующее:
Найти первообразные для функции: 1) 3х3 + 2х2 − х + 1; 2) 2 + 3ех + 4 cos x; 3) 4 x + sin 2x − х4 − 3.
Затем проверить результат решения упражнений дифференцированием. Полезно периодически проверять результат выполнения аналогичных заданий дифференцированием: при этом учащиеся не только повторяют изученный материал, но и глубже осознают связь двух операций.
Учащимся профильных классов в качестве дополнительного материала можно предложить решить задачи, которые будут готовить их к вычислению интегралов.
1. Найти первообразную для функции у = 2 sin 5x + 3 cos x 2 , которая при π 3 принимает значение, равное 0.
Решение. F(x)=− 2 5 cos 5x+6sin x 2 +C ;
F( π 3 )=− 2 5 cos 5π 3 +6sin π 6 +C=− 2 5 ⋅ 1 2 +6⋅ 1 2 +C=0 , откуда
C=− 14 5 =−2 4 5 , поэтому F(x)=6sin x 2 − 2 5 cos 5x−2 4 5 .
2. Найти одну из первообразных для функции:
1) x x−3 ; 2) cos2 х.
Решение. 1) f(x)= x x−3 = x−3+3 x−3 = x−3 x−3 + 3 x−3 =1+ 3 x−3 .
С помощью правил и таблицы интегрирования получаем F (x) = x + 3 ln | x − 3 |.
2) f(x)= cos 2 x= 1+cos 2x 2 = 1 2 + 1 2 cos 2x . С помощью правил и таблицы интегрирования получаем F(x)= 1 2 x+ 1 4 sin 2x .
На последнем уроке по теме можно предложить самостоятельную проверочную работу.
1. Найти все первообразные для данной функции:
1) х5 − 2х; 2) 1 x − 3 x 3 ; 3) 2 sin x + х2
[ 1) x 6 +3 x 2 ; 2) 1 x 2 − 2 x 4 ; 3) 3cos x−x ] .
2. Для функции f (x) = 2х + 3 [f (x) = 4x − 1] найти первообразную, график которой проходит через точку М (1; 2) [(−1; 3)].
3. Найти первообразную F (х) для функции
f(x)= 1 (x+1) 2 +2 (x+1) 3 [ f(x)=− 1 (x+1) 2 +4 (x−1) 5 ],
если F (0) = 0 [F (0) = 1].
4. Скорость прямолинейного движения материальной точки задается формулой v(t)=3t+2 t . Найти закон движения точки, если s(1)= 11 6 .
В результате изучения параграфа все учащиеся должны знать правила нахождения первообразных, уметь применять таблицу первообразных при выполнении упражнений типа 5, 6 (1, 2). Учащиеся профильных классов должны уметь решать упражнения типа 8, 9, 13.
| 