Цель изучения параграфа — знакомство учащихся профильных классов с понятиями предела функции и асимптоты графика функции, со свойствами пределов функций. С большинством учащихся профильных классов материал параграфа рассматривается в ознакомительном плане (только текст, выделенный соответствующим символом). Учитель не должен требовать от всех учащихся воспроизведения определений понятий, вводимых в параграфе. Желательно лишь добиться понимания определения предела функции (п. 1), используя графическую иллюстрацию (рис. 18). На языке «окрестностей точки» данное определение можно переформулировать так: «Число А называется пределом функции f (x) в точке а при x→a, если для любого ε > 0 найдется такое число δ > 0, что, как только число х попадает в δ-окрестность точки а, соответствующее значение f (x) попадает в ε-окрестность точки А» (см. рис. 18).
Понятие вертикальной асимптоты иллюстрируется с помощью рисунков 37—40 учебника, горизонтальной — с помощью рисунков 37—38. С учащимися, интересующимися математикой (при наличии времени), можно рассмотреть п. 3 и свойства пределов функций (п. 4), затем потренироваться в нахождении пределов при решении упражнения 13. У учащихся, усвоивших свойства пределов числовых последовательностей, изучение п. 4 и рассмотрение задачи 7 не должно вызвать особых затруднений.
С учащимися, интересующимися математикой (при наличии дополнительного времени), рассматривается материал п. 2. Понятие односторонних конечных пределов рассматривается в основном с целью формулировки необходимого и достаточного условия существования предела функции в точке. Знание бесконечных пределов в конечной точке и пределов в бесконечности дает возможность обоснованного построения графиков функций, имеющих асимптоты. Понятие пределов функции при x→+∞ и x→−∞ можно ввести с помощью рисунков 42 и 43 учебника лишь на наглядно-интуитивном уровне. Представление о таких пределах и использование указанной символики понадобятся учащимся профильных классов при изучении асимптот графиков функций (§ 5, глава III). При выполнении упражнения 9 учащиеся должны построить график функции, заданной на интервалах, а затем найти пределы слева и справа в заданной точке. При выполнении упражнения 10 рекомендуем в классе рассмотреть задание 2, а дома задание 1. В результате изучения параграфа учащиеся профильных классов должны иметь представление о пределе функции в точке и уметь его находить с помощью графика функции в заданиях, аналогичных упражнению 8, а также находить с помощью графического метода вертикальные и горизонтальные асимптоты графика функции в заданиях типа 11 (1, 2), 12.
Решение упражнений
10. 1) f (x) = x2 − 4x + 6, | f (x) − 2 | = | x2 − 4x + 6 − 2 | = = | x2 − 4x + 4 | = (x − 2)2. Найдем для любого ε > 0 такое δ > 0, что | f (x) − 2 | < ε, как только | x − 2 | < δ. Пусть взято некоторое ε > 0, тогда неравенство (х − 2)2 < ε равносильно неравенству | х − 2 | < ε . Поэтому для всех х, таких, что | x − 2 | < δ, где δ= ε , справедливо неравенство | f (x) − 2 | < ε, т. е. lim x→2 ( x 2 −4x+6)=2. 2) Равенство lim x→1 ( (x−1) 4 +3)=3 верно, если для любого ε > 0 найдется такое δ > 0, что для всех х, удовлетворяющих условию | x − 1 | < δ, выполняется неравенство | (х − 1)4 + 3 − 3 | < ε или равносильные ему неравенства (x − 1)4 < ε, | x−1 |< ε 4 . Тогда для всех х, таких, что | x − 1 | < δ, где δ= ε 4 , будет выполняться и неравенство lim x→1 ( (x−1) 4 +3)=3. 11. 1) Если x→±2, то x 2 −4→0, поэтому lim x→2 1 x 2 −4 =∞, lim x→−2 1 x 2 −4 =∞ . Вертикальные асимптоты: х = 2 и х = −2. 2) Если x→− 3 2 , то x + 1 ≠ 0, а 2x+3→0, поэтому lim x→− 3 2 x+1 2x+3 =∞ . Вертикальная асимптота x=− 3 2 . 12. 1) f(x)= 3x+2 x = 3+ 2 x 1 =3+ 2 x →3 при x→∞, поэтому у = 3 горизонтальная асимптота. 13. 2) lim x→6 x−2 −2 x−6 = lim x→6 ( x−2 −2 )( x−2 +2 ) (x−6)( x−2 +2 ) = = lim x→6 x−2−4 (x−6)( x−2 +2 ) = lim x→6 1 x−2 +2 = 1 4 . 3) lim x→∞ 3 x 2 +4x+7 6 x 2 −x+5 = lim x→∞ 3+ 4 x + 7 x 2 6− 1 x + 5 x 2 = 3 6 = 1 2 . 5) Указание. Использовать то, что 3 x 2 +x+7 x = 3+ 1 x + 7 x 2 . 6) Указание. Умножить и разделить x 2 +2x+3 − x 2 −x+1 на сопряженное ему выражение.
