Цель изучения параграфа в общеобразовательных классах — завершение формирования представления о пределе числовой последовательности, демонстрация применения теорем о существовании предела монотонной ограниченной последовательности; в профильных классах — знакомство со строгим определением предела числовой последовательности, свойствами сходящихся последовательностей, обучение нахождению пределов последовательностей (на основании свойств пределов), доказательству сходимости последовательности к заданному числу (на основании определения предела последовательности).
В общеобразовательных классах рассмотрение текста параграфа, выделенного для этой категории учащихся, проводится в течение одного урока в ознакомительном плане с опорой на знания, полученные в 9 классе, при вычислении суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Изображение последовательности {хn} с помощью точек координатной плоскости вида (n; xn), где n ∈ N, можно проиллюстрировать, например, на последовательности хn = (−1)n n. Изображение последовательностей точками на числовом луче имеется в учебнике (рис. 30, 31).
После интуитивного введения понятия предела числовой последовательности выполняется упражнение 1.
С содержанием п. 4 можно работать следующим образом: рассматривается определение 1 и приводятся примеры возрастающей и неубывающей последовательностей (например, последовательностей хn = n − 5 и y n ={ 7, если n<12, n 2 , если n≥12 соответственно). Аналогично прорабатывается определение 2.
При рассмотрении теорем 1 и 2 также желательно привести примеры соответствующих последовательностей. Например, последовательность y n = 1 2 n (рассмотренная в п. 2 параграфа) является убывающей, и любой ее член уn ≥ 0 ( или y n ≥ 1 2 , или y n ≥−2 и т. п. ) ; тот факт, что эта последовательность имеет предел, был проиллюстрирован в учебнике даже графически. Желательно, чтобы учащиеся сами сконструировали несколько последовательностей, удовлетворяющих условиям теорем 1 и 2, после чего убедились (на интуитивном уровне) в том, что эти последовательности имеют предел. Применение теоремы 1 в геометрии при обосновании формул длины окружности и площади круга желательно проиллюстрировать с помощью рисунка 33 учебника.
С учащимися профильных классов при изучении параграфа акцент делается не на интуитивное понятие предела, а на его строгую трактовку «на ε-языке». Такое определение предела последовательности (а в дальнейшем определение предела функции «на ε-, δ-языке») нелегко усваивается за короткое время даже студентами I курса технических вузов. Все понятия, связанные с бесконечно малыми и бесконечно большими величинами, «не осязаемы» учащимися и поэтому требуют для их формирования длительного времени, многократного «проговаривания» определения понятия с параллельным сопровождением графическими иллюстрациями. Практика показывает, иллюстрация типа рисунка 32 учебника с использованием термина «ε-окрестность точки a» больше всего способствует пониманию понятия предела. Иногда полезно учителю при формулировке определения предела последовательности после слов «...для каждого ε > 0» добавлять слова «каким бы малым оно ни было...». И пояснять: «Если взять ε еще меньше, то и для него найдется такой номер члена последовательности Nε (зависящий от нового ε)...»
После введения понятия предела числовой последовательности разбирается задача 1 текста учебника, после чего выполняется упражнение 2. Упражнение 3 может быть выполнено на любом из отведенных уроков, однако если учитель посчитает нужным его рассмотреть до изучения теоремы 3, то предварительно нужно будет в каждом задании сперва «угадать» число, являющееся пределом заданной последовательности, а затем с помощью определения предела (как это сделано в задаче 1) доказать, что это число действительно является пределом заданной последовательности.
Пункты 3—5 параграфа изучаются в ознакомительном плане, однако при рассмотрении свойств 1 и 2 пункта 3 желательно приводить примеры последовательностей, иллюстрирующих эти свойства (аналогично тому, как было рекомендовано выше изучать материал п. 4).
Заметим, что в свойстве 1 фактически формулируется и определение ограниченной последовательности. Учащимся желательно сформулировать его в явном виде и дать определение ограниченной снизу и ограниченной сверху последовательностей (что необходимо для четкого понимания формулировок теорем 1 и 2): «Последовательность {хn} называется ограниченной сверху (снизу), если существует такое М, что хn ≤ М (хn ≥ М) для всех n ∈ N».
В результате изучения параграфа учащиеся общеобразовательных классов должны иметь представление о пределе числовой последовательности и уметь символически записывать тот факт, что некоторое число является пределом последовательности при n→∞ . Учащиеся профильных классов должны усвоить определение предела последовательности, уяснить теорию пределов монотонных последовательностей и уметь находить пределы последовательностей в случаях, аналогичных упражнению 5 (2, 5, 6).
Решение упражнений
5. 3) Так как 1 (2k+1)(2k+3) = 1 2 ( 1 2k+1 − 1 2k+3 ), то
x n = 1 2 ( 1 3 − 1 5 + 1 5 − 1 7 +...+ 1 2n+1 − 1 2n+3 )= 1 2 ( 1 3 − 1 2n+3 )=
= 2n 6(2n+3) = n 6n+9 ; lim n→∞ x n = lim n→∞ n 6n+9 = lim n→∞ 1 6+ 9 n = 1 6 .
4) Так как 1+2+...+n= n(n+1) 2 , то x n = n(n+1) 2 n 2 = n+1 2n ;
lim n→∞ x n = lim n→∞ n+1 2n = lim n→∞ 1+ 1 n 2 = 1 2 .
5) lim n→∞ 3n+5 2n−1 = lim n→∞ ( 3 2 ⋅ n+ 5 3 n− 1 2 )= 6 2 lim n→∞ n− 1 2 + 13 6 n− 1 2 =
= 6 2 lim n→∞ 1 + 13 6 ( n− 1 2 ) = 6 2 (см. замечание после задачи 2 текста параграфа).
6) x n = n 2 −n+2 −n= ( n 2 −n+2 −n )( n 2 −n+2 +n ) n 2 −n+2 +n =
= 2−n n 2 −n+2 +n = 2 n −1 1− 1 n + 2 n 2 +1 , поэтому lim n→∞ x n = −1 1+1 =− 1 2 .
6. 4) x n = n 3 +2n 3 −n=
= ( n 3 +2n 3 −n ) ( ( n 3 +2n ) 2 3 + n 3 +2n 3 ⋅ n+ n 2 ) ( n 3 +2n ) 2 3 + n 3 +2n 3 ⋅n+ n 2 =
= n 3 +2n− n 3 n 6 +4 n 4 +4 n 2 3 +n n 3 +2n 3 + n 2 = 2 n 2 +4n+ 4 n 3 + n 3 +2n 3 +n ,
поэтому lim n→∞ x n =0.
7. Так как 1 a k ⋅ a k+1 = 1 a k ( a k +d ) = 1 d ( 1 a k − 1 a k +d ), то
1 a 1 a 2 + 1 a 2 a 3 +...+ 1 a n a n+1 =
= 1 d ( 1 a 1 − 1 a 2 + 1 a 2 − 1 a 3 +...+ 1 a n − 1 a n+1 )=
= 1 d ( 1 a 1 − 1 a n+1 )= 1 d ( 1 a 1 − 1 a 1 +nd )= 1 d ⋅ nd a 1 ( a 1 +nd ) =
= n a 1 2 +n a 1 d = 1 a 1 2 n + a 1 d ,
то lim n→∞ x n = lim n→∞ 1 a 1 2 n + a 1 d = 1 a 1 d .
|
