Основной целью изучения главы является демонстрация возможностей производной в исследовании свойств функций и построении их графиков.
При изучении этой главы широко используются знания, полученные учащимися при изучении главы II. Так, например, постоянно имеется в виду тот факт, что если производная функции существует в каждой точке некоторого промежутка, т. е. функция дифференцируема на нем, то она непрерывна на этом промежутке (обратное утверждение неверно, простейший пример тому у = | х | — непрерывная функция, не имеющая производной в точке х = 0).
В главе III обосновываются следующие утверждения:
— если f ′ (x) > 0 на некотором промежутке, то функция f (x) на этом промежутке возрастает; если f ′ (х) < 0 — убывает;
— если функция дифференцируема в окрестности некоторой точки и имеет в этой точке производную, равную нулю, то данная точка является или точкой максимума, или точкой минимума, или точкой перегиба.
Точки, в которых f ′ (x) = 0 или в которых функция недифференцируема, называют критическими; точки, в которых f ′ (x) = 0, называют стационарными.
После введения понятий максимума и минимума функции формируется представление о том, что функция может иметь экстремум в точке, в которой она не имеет производной, например у = | х | в точке х = 0.
В учебнике определение вида экстремума связано с переменой знака производной функции при переходе через точку экстремума. Желательно показать учащимся не только профильных классов, что это можно сделать проще — по знаку второй производной: если f ″ (x) > 0 в некоторой стационарной точке х, то рассматриваемая стационарная точка есть точка минимума; если f ″ (x) < 0, то эта точка — точка максимума; если f ″ (x) = 0, то стационарная точка х есть точка перегиба.
Кроме критических точек, важное значение при построении графиков имеют точки разрыва функции, например точка х = 0 для функции y= 1 x ; нули функции, т. е. те точки, в которых f (x) = 0.
Если область определения функции состоит из нескольких промежутков, то полезно рассматривать поведение функции в граничных точках этих промежутков.
В § 5 приводится схема исследования основных свойств функции, предваряющая построение графика. В общеобразовательных классах эта схема выглядит так: 1) область определения функции; 2) точки пересечения графика с осями координат; 3) производная функции и стационарные точки; 4) промежутки монотонности; 5) точки экстремума и значения функции в этих точках.
В профильных классах (после изучения второй производной) схема исследования функции более детальна: 1) область определения функции; четность (нечетность); периодичность; 2) нули функции; промежутки знакопостоянства; 3) асимптоты графика функции; 4) первая производная; критические точки; промежутки монотонности; экстремумы; 5) вторая производная; промежутки выпуклости, направления выпуклостей и точки перегиба.
В результате изучения главы все учащиеся должны знать, какие свойства функции выявляются с помощью производной; уметь строить графики функций в упражнениях типа 57, 58, решать задачи нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции типа 59, 60. Учащиеся профильных классов должны уметь решать упражнения типа 67, 68, 71. | 