Содержание разделов курса, составляющих начала математического анализа, трудно для изучения в средней школе. Поэтому в общеобразовательных классах их изложение в учебнике ведется на наглядно-интуитивном уровне: многие формулы не доказываются, а только поясняются или принимаются без доказательств. Главное — показать учащимся целесообразность изучения производной и в дальнейшем первообразной (интеграла), так как это необходимо при решении многих практических задач, связанных с исследованием физических явлений, вычислением площадей криволинейных фигур и объемов тел с произвольными границами, с построением графиков функций. Хотя о геометрическом смысле производной говорится в конце главы, можно (в общих чертах) рассказать о нем уже в самом начале изучения темы.
Прежде всего следует показать, что функции, графиками которых являются кривые, описывают многие важные физические и технические процессы. По сравнению с прямой кривые меняют наклон, меняют возрастание на убывание или наоборот; могут существовать значения у, которым соответствует не одно, а несколько значений х, и т. д., т. е. кривые являются существенно более сложными объектами для изучения, чем прямые. Отсюда возникает идея линеаризации — сведение изучения кривых к изучению некоторой ломаной, близкой к этой кривой, и далее к изучению отрезков ломаной, являющихся хордами, соединяющими две точки данной кривой. Впервые эту идею высказал Г. Лейбниц, который утверждал, что на небольших промежутках кривая неотличима от прямой, а наклон секущей, проходящей через две точки кривой при сближении этих точек, можно заменить наклоном касательной. Чем ближе концы хорд друг к другу, тем точнее приближение данной кривой к соответствующей ломаной. Следует также иметь в виду, что наклон кривой в той или иной точке промежутка, на котором она рассматривается, определяет многие ее свойства (возрастание, убывание и т. д.). Учащиеся знают, что угол наклона прямой (ее угловой коэффициент) выражается отношением y x =k (в каждой ее точке), наклон же кривой (или ее градиент) задается отношением f(x+h)−f(x) h . Это отношение определяет наклон хорды, концами которой являются точки (x; f (x)) и (x + h; f (x + h)). Если концы хорды сближаются (т. е. h→0 ), то наклон кривой в некоторой точке будет характеризоваться наклоном касательной к кривой в этой точке, т. е. производной f ′ (x)= lim h→0 f(x+h)−f(x) h . Таким образом, вблизи избранной точки мы заменяем изучаемую функцию линейной. С помощью производной среди таких линейных функций выбирается та, которая дает наилучшее приближение к данной функции.
Понятия предела и непрерывности функции у учащихся общеобразовательных классов формируются на наглядно-интуитивном уровне; учащиеся профильных классов знакомятся со строгими определениями этих понятий. Поэтому одни и те же правила дифференцирования и формулы производных элементарных функций в первом случае приводятся без обоснований, а во втором — доказываются строго.
Достаточно подробное изучение теории пределов числовых последовательностей (§ 1) учащимися профильных классов не просто готовит их к восприятию сложного понятия предела функции в точке, но и развивает многие качества мыслительной деятельности учащихся. Вводимые понятия горизонтальных и вертикальных асимптот должны облегчить построение графиков многих функций учащимися профильных классов.
В результате изучения главы все учащиеся должны знать определение производной, основные правила дифференцирования и формулы производных элементарных функций, приведенные в учебнике; понимать геометрический смысл производной; уметь записывать уравнение касательной к графику функции в заданной точке, решать упражнения типа 104—110, 94. Учащиеся профильных классов должны дополнительно иметь представление о пределе последовательности, пределе и непрерывности функции и уметь решать упражнения типа 119—121, 116—118, 128. | 