Цель изучения параграфа — обучение использованию формулы производной степенной функции f (x) = xp для любого действительного числа р.
Формула (1) в общем виде при рассмотрении этого параграфа не доказывается. Учащиеся убеждаются в ее справедливости на примере уже знакомых функций у = х, у = х2 и у = х3. В профильных классах формула (1) доказывается для р = −1 и p= 1 2 . Учащиеся общеобразовательных классов в своих тетрадях записывают производные функций 1 x и x с помощью формулы (1), затем разбирают задачи 3 и 4 текста параграфа. Оставшееся время используется на отработку навыка нахождения производных степенных функций.
Следует пояснить смысл замечания, сделанного в учебнике сразу после формулы (1). Например, после записи ( x ) ′ = 1 2 x следует пояснить: левая часть равенства имеет смысл при x ≥ 0, а правая — при х > 0, значит, равенство справедливо при x > 0.
Во многих упражнениях возможно предварительное преобразование выражений, задающих функции (например, 1 x x = 1 x⋅ x 1 2 = x − 3 2 в упражнении 47 (6)). Учитель должен обратить внимание учащихся на то, что производные многих функций можно находить различными способами: 1) «в лоб», не преобразовывая выражение, задающее функцию; 2) выполнив предварительное преобразование выражения, упрощающее процесс дифференцирования (так, например, в упражнении 47 (6) производную можно было находить нерационально — как производную дроби, в знаменателе которой записано произведение). Отдается предпочтение более рациональному способу нахождения производной. Перед решением задачи 4 повторяется формула (8) из § 5.
В результате изучения параграфа все учащиеся должны уметь применять формулу производной степенной функции в упражнениях типа 46—47, а учащиеся профильных классов — в упражнениях типа 50, 51.
Замечание. К следующему уроку желательно заготовить плакат с формулами (1)—(10) из § 7.
Решение упражнений
58. 5) f ′ (x)=2(x+2)⋅ x + (x+2) 2 1 2 x =
= (x+2)(4x+x+2) 2 x = (x+2)(5x+2) 2 x , причем x > 0 и x >0, поэтому f ′ (x) > 0 при x > 0.
59. ω (t) = φ′ (t) = 0,2t − 0,5, ω (20) = 0,2 · 20 − 0,5 = 3,5 (рад/с).
60. v (t) = s′ (t) = −1 + 2t.
E= m v 2 2 = m (−1+2t) 2 2 = 5 (−1+2⋅10) 2 2 = 5⋅361 2 =902,5 (Дж) .
61. ρ (l) = m′ (l) = 4l + 3. 1) ρ (3) = 4 · 3 + 3 = 15 (г/см);
2) ρ (25) = 4 · 25 + 3 = 103 (г/см).
62. f ′ (x)= 1 2 ( x 2 −5x+6) 1 2 −1 ( x 2 −5x+6 ) ′ = 2x−5 2 x 2 −5+6 .
| 