Цель изучения параграфа — формирование умения находить производные элементарных функций.
В начале первого урока может быть проведена самостоятельная работа (с проверкой в классе) по применению правил дифференцирования к степенным функциям.
1. Найти производную функции:
1) 0,1x8 + 3; 2) x (x−1); 3) x 4 3−x
[ 1) 1 3 x 6 −5; 2) (x+1) x ; 3) x 5 2−x ] .
2. Найти f ′ (16) [f ′ (8)], если f(x)= x 4 + 1 x [ f(x)= 1 x − x 3 ] .
3. (В профильных классах.) Найти f ′ (x), если
f(x)= 5x−2 3 ⋅(5x+1) [ f(x)= 3x+2 4 ⋅(3x−1) ] .
Желательно, чтобы на протяжении последующих уроков (вплоть до контрольной работы по теме главы) перед глазами учащихся находился плакат с формулами 1—10. На плакате можно разместить приведенные ниже формулы.
(xp)′ = pxp − 1, p ∈ R, x > 0,
(sin x)′ = cos x,
(cos x)′ = −sin x,
(tg x ) ′ = 1 cos 2 x , x≠ π 2 +πk, k ∈ Z,
(ctg x ) ′ =− 1 sin 2 x , x≠πk, k ∈ Z,
(ex)′ = ex,
(ax)′ = ax ln a, a > 0, а ≠ 1,
(lnx ) ′ = 1 x , x > 0,
(ln| x | ) ′ = 1 x , x≠0 ,
( log a x ) ′ = 1 xlna , a > 0, a ≠ 1, x > 0.
Все формулы приводятся на первом уроке; в общеобразовательных классах — без доказательств, в профильных — с обоснованиями. Все остальное время учащиеся обучаются применению этих формул.
Если при изучении § 5 учащиеся профильных классов рассматривали п. 3, то необходимо найти время для решения задачи 4 текста параграфа.
В конце последнего урока можно провести проверочную самостоятельную работу.
1. Найти производную функции:
1) log 4 x+ x ; 2) lnx⋅cos ( x 2 +3 ); 3) sin x e 2x
[ 1) 1 x 3 + log 5 x; 2) 5 x ⋅sin 3x; 3) ln(3x+1) cos x ] .
2. (В профильных классах.) Выяснить, при каких значениях x значение производной функции f (x) положительно, если f(x)= e 2x x [f (x) = x ln 6 − 6x].
Приведем решение задания 2.
f ′ (x)=2 e 2x x + e 2x ⋅ 1 2 x = e 2x ⋅ 4x+1 2 x .
Так как е2х > 0 при любом х, то f ′ (x) > 0, если { x>0, 4x+1>0, т. е. при х > 0.
[f ′ (x) = ln 6 − 6x ln 6 = (1 − 6x) ln 6. Так как ln 6 > 0, то f ′ (x) > 0, если 1 − 6x > 0, т. е. х < 0.]
Распределение материала параграфа по урокам отражено в таблицах.
Общеобразовательные классы
Номер урока
Теоретический материал
Упражнения
основные для работы в классе и дома
для самостоятельной работы в классе
дополнительные
1
§ 7, формулы (1)—(10), задачи 1, 2 (1)
63—66
66 (3)
80 (1, 2)
2
67—70,
72 (3—8)
67 (5), 68 (5), 70 (5)
75,
76 (1—4)
3
§ 7, задача 2 (3)
79 (3, 4),
73 (1—6),
77 (1—4)
Проверочная самостоятельная работа
81,
76 (5—8)
Профильные классы
Номер урока
Теоретический материал
Упражнения
основные для работы в классе и дома
для самостоятельной работы в классе
дополнительные
1
§ 7, формулы (1)—(10); обоснование формул (1)—(7); задачи 1, 2 (1, 2)
63—66
66 (3)
80 (1, 2), 67, 68
2
§ 7, обоснование формул (8)—(10); задача 2 (3—6)
69—75,
77 (1—4)
69 (5), 70 (5),
71 (5), 72 (5)
76,
84, 86
3
§ 7, задача 3
78, 79, 82, 85
Проверочная самостоятельная работа
81, 83, 87, 88
В результате изучения параграфа все учащиеся должны уметь применять формулы 1—5, 10 к нахождению производных функций, представленных в упражнениях типа 65, 68, а учащиеся профильных классов уметь применять формулы 1—10 в упражнениях типа 70—72, 75.
Решение упражнений
84. 1) f ′ (x) = 5 (cos x + sin x) − 5 2 sin 5x=0, если
cos x + sin x = 2 sin 5x . (1)
Так как
cos x+sin x=sin ( π 2 −x )+sin x=2sin π 2 −x+x 2 ⋅cos π 2 −x−x 2 =
=2⋅ 2 2 ⋅cos ( π 4 −x )= 2 sin ( π 4 +x ),
то равенство (1) выполняется, если sin ( π 4 +x )=sin 5x . Откуда:
a) π 4 +x=5x+2πk, x= π 16 + πk 2 , k ∈ Z; б) π 4 + x = π − 5x + 2πk, x= π 8 + πk 3 , k ∈ Z.
Ответ. x= π 16 + πk 2 , x= π 8 + πk 3 , k ∈ Z.
2) f ′ (x) = 2 sin 2x + cos x + sin x − 1 = 4sinxcosx ¯ + cos x +
+ sin x + 2 sin 2 x+2 cos 2 x ¯ − 3 = 2 (sin x + cos x)2 + (sin x + cos x) − 3. Пусть sin x + cos x = t, тогда f ′ (x) = 0, если 2t2 + t − 3 = 0, откуда t1 = 1, t 2 =− 3 2 . a) sin x + cos x = 1, откуда x = 2πk, x= π 2 +2πk, k ∈ Z; б) sin x+cos x=− 3 2 , корней нет, так как | sin x+cos x |≤ 2 , а | − 3 2 |> 2 .
Ответ. x = 2πk, x= π 2 +2πk, k ∈ Z.
85. 1) e2x ln (2x − 1) = 0, когда ln (2x − 1) = 0, т. е. при x = 1.
f ′ (x) = 2e2x ln (2x − 1) + 2e2x 1 2x−1 =2 e 2x ( ln(2x−1)+ 1 2x−1 );
f ′ (1) = 2e2 (0 + 1) = 2e2.
87. 1) f ′ (x)=1− 1 x = x−1 x при x > 0;
f ′ (x) = 0, если x − 1 = 0, x = 1;
f ′ (x)= x−1 x >0 при x > 0, когда x > 1;
f ′ (x)= x−1 x <0 при x > 0, когда 0 < х < 1.
88. f ′ (x)= 1 x 2 −5x+6 ( x 2 −5x+6 ) ′ = 2x−5 x 2 −5x+6 при x < 2 и при x > 3.
|
