Цель изучения параграфа — знакомство с теоремой о вероятности суммы двух несовместных событий и ее применением, в частности при нахождении вероятности противоположного события; знакомство учащихся профильных классов с теоремой о вероятности суммы двух произвольных событий. До рассмотрения теоремы 1 повторяются (с приведением примеров) понятия несовместных событий и суммы событий. При этом сумму двух событий можно определить и как событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из данных событий. После доказательства теоремы 1 на первом уроке желательно разобрать задачу 1, а после этого перейти к рассмотрению следствия из теоремы (с последующим решением задачи 2 текста параграфа). В общеобразовательных классах на втором уроке (а в профильных — на первом же уроке) при рассмотрении задачи 3 текста учебника следует подчеркнуть, что знание следствия из теоремы в ряде случаев существенно облегчает решение задачи. Необходимо лишь не ошибаться в понимании и формулировке события, противоположного данному. Так, если событие А — отсутствие элементов некоторого множества, то A ¯ — наличие хотя бы одного элемента этого множества. При изучении теоремы 2 с учащимися профильных классов можно привести графическую иллюстрацию благоприятствующих исходов совместных событий А и В (рис. 41).
Доказательство теоремы 2 можно провести и другим способом, пользуясь понятием совместных событий (тех событий, которые имеют общие благоприятствующие им исходы). Если события А и В совместные, то событие А + В наступает, когда наступает одно из трех несовместных событий: A B ¯ , A ¯ B или АВ. По замечанию к теореме 1 о сложении вероятностей несовместных событий имеем P=(A+B)=P(A B ¯ + A ¯ B+AB)=P(A B ¯ )+P( A ¯ B)+P(AB). (*)
Событие А произойдет, когда наступит одно из двух несовместных событий: A B ¯ или АВ. По теореме сложения вероятностей несовместных событий справедливо равенство P(A)=P(A B ¯ )+P(AB) , откуда P(A B ¯ )=P(A)−P(AB). (**)
Аналогично P(B)=P( A ¯ B)+P(AB) , откуда P( A ¯ B)=P(B)−P(AB). (***)
Подставив равенства (***) и (**) в равенство (*), получим Р (А + В) = Р (А) + Р (В) − Р (АВ). Учащимся профильных классов следует сказать, что формула (1) учебника получается из формулы (2), так как в случае независимости событий А и В вероятность их произведения Р (АВ) = 0. В качестве дополнительного учащимся профильных классов предлагается упражнение 59 — задача, в которой необходимо применение интегрированных знаний в действиях с событиями. Если при изучении этого параграфа не останется времени на ее рассмотрение, желательно все же решить эту задачу хотя бы на уроке обобщения знаний. В конце второго урока можно провести проверочную самостоятельную работу по материалу § 1 и § 2.
Общеобразовательные классы
1. Из колоды карт наугад вынимается одна карта. Какова вероятность того, что эта карта шестерка [туз красной масти]? 2. Брошены две монеты. Какова вероятность того, что выпали орел и решка [два орла]? 3. Брошены две игральные кости. Какова вероятность того, что не выпали два одинаковых числа очков [не выпали два одинаковых четных числа очков]?
Профильные классы
1. Из колоды карт наугад вынимается одна карта. Какова вероятность того, что эта карта либо король треф, либо дама красной масти [либо валет черной масти, либо туз пик]? 2. Брошены две игральные кости. Какова вероятность того, что на первой кости появилось четное число, а на второй — число, меньшее 5 [на одной из костей появилось нечетное число, а на другой — число, большее 2]? 3. В классе 10 девушек и 12 юношей. Какова вероятность того, что среди случайным образом выбранных 2 дежурных окажется хотя бы одна девушка? [В бригаде рабочих 4 женщины и 7 мужчин. Какова вероятность того, что среди троих случайным образом выбранных рабочих для отделочных работ окажется хотя бы один мужчина?] В результате изучения параграфа все учащиеся должны знать теорему 1, следствие из нее и уметь их применять при решении задач типа 15, 17, 18. Учащиеся профильных классов после изучения теоремы 2 должны уметь решать упражнения типа 21.
Решение упражнений
20. Пусть событие А — в группе из троих студентов оказалась хотя бы одна девушка, тогда событие A ¯ — в группе из троих студентов не оказалось ни одной девушки, т. е. в группе только юноши. Найдем P( A ¯ ) так: n= C 22 3 , m= C 18 3 , P( A ¯ )= m n = C 18 3 C 22 3 = 18⋅17⋅16⋅1⋅2⋅3 1⋅2⋅3⋅22⋅21⋅20 = 204 385 . Тогда P(A)=1−P( A ¯ )=1− 204 385 = 181 385 . 21. Событие А — попадание при первом выстреле; В — попадание при втором выстреле. 1) Требуется найти Р (А + В) при условии, что Р (А) = 0,7, Р (В) = 0,8, Р (АВ) = 0,56. Имеем Р (А + B) = Р (А) + Р (В) − Р (АВ) = 0,7 + 0,8 − 0,56 = 0,94. 2) Нужно найти вероятность события A+B ¯ :
P( A+B ¯ )=1−P(A+B)=1−0,96=0,04.
22. Р (А + В) = Р (А) + Р (В) − Р (АВ) = 0,3 + 0,8 − 0,1 = 1, т. е. А + В — достоверное событие. 55. Событие А — 3 очка появились хотя бы на одной кости; событие A ¯ — 3 очка не появились ни на одной из двух костей. Число всех возможных исходов при бросании 2 игральных костей n = 6 · 6 = 36. Благоприятствующими событию A ¯ будут исходы, в парах очков которых нет троек, т. е. на каждой кости должно появиться одно из 5 очков (1, 2, 4, 5 или 6 очков): m = 5 · 5 = 25. Тогда и P( A ¯ )= 25 36 и P( A ¯ )=1−P(A)= 11 36 . 59. Нужно найти вероятность события С — две случайным образом вынутые костяшки домино имеют хотя бы по одной совпадающей цифре (числу очков). Имеем 28 костяшек с семью (от 0 до 6) цифрами и 56 «полукостяшек», каждая из которых встречается 8 раз. Первую вынутую костяшку назовем А, а вторую, которая может прикладываться к первой, назовем В. Возможны два случая. 1) А — какой-то дубль и P(A)= 7 28 = 1 4 . Тогда 6 из оставшихся 27 костяшек на одной из своих «полукостяшек» имеют ту же цифру, которая дважды была на А. Вероятность того, что В приложится к А равна 6 27 = 2 9 . Итак, вероятность прикладывания в этом случае равна 1 4 ⋅ 2 9 = 1 18 . 2) A — не дубль, тогда P(A)= 21 28 = 3 4 . Из оставшихся 27 костяшек для В подойдут: 2 дубля и 10 недублей, на каждой из которых есть одна совпадающая с А цифра. То есть P(B)= 12 27 = 4 9 . Вероятность прикладывания в этом случае равна P(AB)=P(A)⋅P(B)= 3 4 ⋅ 4 9 = 1 3 . Случаи 1 и 2 несовместны, поэтому P(C)= 1 18 + 1 3 = 7 18 .
