Воскресенье, 21.01.2018, 06:07
Ш  К  О  Л  А     П  И  Ф  А  Г  О  Р  А
      Предмет математики настолько серьезен, что нужно
не упускать случая, сделать его немного занимательным".
                                                                           Блез Паскаль
Главная | Регистрация | Вход Приветствую Вас Гость | RSS
ПАМЯТКИ ПО МАТЕМАТИКЕ   ВЕЛИКИЕ МАТЕМАТИКИ   ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ   МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
УРОКИ МАТЕМАТИКИ В ШКОЛЕ
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КЛАДОВАЯ
В МИРЕ ЗАДАЧ
ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ
МАТЕМАТИКА В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ
ВАРИ, КОТЕЛОК!
УДИВИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
В МИРЕ ИНТЕРЕСНОГО
Категории раздела
10 КЛАСС [78]
11 КЛАСС [65]
Статистика

Онлайн всего: 1
Гостей: 1
Пользователей: 0
Форма входа

Главная » Файлы » ПРЕПОДАЕМ АЛГЕБРУ И НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА » 11 КЛАСС

Свойства функции у = cos x и ее график
27.10.2014, 09:58
      Цель изучения параграфа — изучение свойств функции у = cos x, обучение построению графика функции и применению свойств функции при решении уравнений и неравенств.
      Теоретический материал параграфа разделен на логические блоки: 1) повторение свойств косинуса числа и применение их для исследования функции у = cos x; 2) построение графика функции у = cos x; 3) изложение свойств функции у = cos x; 4) решение задач с использованием изученных свойств функции.
      При изучении первого из блоков обобщаются и конкретизируются знания учащихся, полученные ранее: отыскание области определения, множества значений, ограниченности, четности, периодичности функции у = cos x. Все это позволяет перейти ко второй части и выполнить построение графика сначала на отрезке [0; π], затем на отрезке [−π; π] и, наконец, на всей числовой прямой. Доказательство убывания функции на отрезке [0; π] основано на повороте точки P (1; 0) вокруг начала координат и определении косинуса. Форма кривой на этом промежутке уточняется путем построения нескольких конкретных точек (при изучении производной можно будет доказать выпуклость графика функции на этом промежутке с помощью второй производной). Свойства функции формулируются с опорой на построенный график.
      При изучении блока 1 желательно использовать плакаты (или аналогичную презентацию). Построение графика может выполняться с помощью компьютера (программа, например, GRAPH 16). В дальнейшем для построения синусоиды рекомендуется использовать шаблон.
      Учащиеся общеобразовательных классов должны уметь «читать» свойства функции по графику, учащимся профильных классов полезно аналитически обосновать каждое свойство. В учебнике свойства функции на всей области определения получают, опираясь на ее свойства на промежутке [0; π]; в профильных классах можно предложить учащимся сформулировать свойства функции y = cos x, опираясь на свойства этой функции на другом отрезке, например на отрезке [−π; 0].
      Применение графиков при решении уравнений и неравенств демонстрируется на задачах, которые учащиеся уже решали в 10 классе с помощью единичной окружности. Полезно напомнить это, предложив в дальнейшем пользоваться теми приемами (с помощью окружности или по графику), которые учащимся более удобны. Учащимся общеобразовательных классов достаточно уметь применять график функции при решении уравнений и неравенств на конкретном промежутке.
      Важно обратить внимание школьников на то, что отыскание корней уравнения всегда начинается с промежутка [0; π], а затем применяется симметрия графика относительно прямых х = πn, n  ∈  Z.
      В задачах 4 и 5 рассматривается построение графика с помощью преобразований. Прежде чем переходить к решению, необходимо повторить алгоритм исследования функций элементарными методами, которые изучались в 10 классе. В задаче 4 прежде чем строить график функции у = cos2 x выполняется преобразование выражения, что позволяет построить график достаточно просто. В задаче 5 фактически показывается прием построения графика функции с помощью умножения ординат на примере графика функции y = х cos x.
      Выполняя упражнения к параграфу, желательно как можно чаще обращаться к графику, чтобы учащиеся могли свободно ориентироваться и в построении, и в чтении графика. Упражнения 29—31 можно рассмотреть до начала построения графика у = cos x. Упражнения 28, 32—39 в общеобразовательных классах желательно решать с помощью графика.
      При выполнении упражнения 34 (1) полезно провести рассуждения разными путями.

 
      34. I способ. π 7 ∈[0;π], 8π 9 ∈[0;π]; на отрезке [0; π] функция у = cos x убывает; π 7 < 8π 9 , следовательно, cos  π 7 >cos  8π 9 .
      II способ. π 7 ∈[ 0; π 2 ], cos x > 0 при x∈[ 0; π 2 ), т. е. cos  π 7 >0. 8π 9 ∈[ π 2 ;π ], cos x < 0 при x∈( π 2 ;π ], т. е. cos  8π 9 <0. Следовательно, cos  π 7 >cos  8π 9 .

      Решение упражнения 38 полезно и для закрепления свойств функции у = cos x, и для подготовки к изучению следующего параграфа.
   

      38. 3) sin  5π 8 =sin ( π 2 + π 8 )=cos  π 8 . Функция y = cos x убывает на отрезке [0; π]; π 8 ∈  [0; π], 3π 8 ∈  [0; π], π 8 < 3π 8 , следовательно, cos  π 8 >cos  3π 8 , и  sin  5π 8 >cos  3π 8 .

      В результате изучения параграфа все учащиеся должны уметь строить график функции у = cos x, по графику выявлять свойства функции и выполнять упражнения, такие, как 34—36. Учащиеся профильных классов, кроме того, должны уметь исследовать функции, выполнять построение графиков, применять свойства функции в таких упражнениях, как 40, 41, 43, 47.

Решение упражнений

      49.  Функция y= 1 1+ tg 2 x может быть представлена в виде y= cos  2 x =| cos x | при условии, что область определения функции такова, что x≠ π 2 +πn, n  ∈  Z. График функции y= 1 1+ tg 2 x изображен на рисунке 10.


      50.  2)  Решением неравенства 2t2 − 3t − 2 > 0, где t = cos x, являются промежутки t > 2, t<− 1 2 . Решением исходного неравенства являются решения неравенства cos x<− 1 2 , т. е. 2π 3 +2πn<x< 4π 3 +2πn, n  ∈  Z.
      50.  3)  Неравенство выполняется при условии, что cos x < 0, т. е. π 2 +2πn<x< 3π 2 +2πn (выражение под знаком корня положительно при всех действительных значениях х). По формулам двойного аргумента, выразив cos 4x через cos x, получим cos 4x = 2 cos2 2x − 1 =
= 2 (2 cos2 x − 1)2 − 1 = 8 cos4 x − 8 cos2 x + 1. Выражение под знаком корня примет вид
7−8 cos  4 x+8 cos  2 x−1 2 =3−4 cos  4 x+4 cos  2 x .
      При возведении обеих частей неравенства в четвертую степень получим

3 − 4 cos4 x + 4 cos2 х > 16 cos4 х,  20 cos4 x − 4 cos2 x − 3 < 0.

Обозначим cos2 x = t и решим неравенство 20t2 − 4t − 3 < 0. Его решением является промежуток (−0,3; 0,5), т. е. cos2 x < 0,5, откуда − 2 2 <cos x< 2 2 . Исходное неравенство выполняется при cos x < 0, следовательно, решение принадлежит промежутку − 2 2 <cos x<0. На графике (рис. 11) видно, что решением неравенства является объединение промежутков

− 3π 4 +2πn<x<− π 2 +2πn;   π 2 +2πn<x< 3π 4 +2πn;  n∈Z .



Категория: 11 КЛАСС | Добавил: admin | Теги: Методика преподавания математики в, Уроки математики, советы по преподаванию алгебры в 11, поурочное планирование алгебры в 11
Просмотров: 535 | Загрузок: 0 | Рейтинг: 0.0/0
УЧИТЕЛЮ ИНФОРМАТИКИ
КОНСПЕКТЫ УРОКОВ
ВНЕКЛАССНЫЕ МЕРОПРИЯТИЯ ПО ИНФОРМАТИКЕ
ПОСОБИЯ И МЕТОДИЧКИ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ ИНФОРМАТИКИ
ИЗ ОПЫТА РАБОТЫ УЧИТЕЛЯ ИНФОРМАТИКИ
ЗАДАНИЯ ШКОЛЬНОЙ ОЛИМПИАДЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ

ИНФОРМАТИКА В ШКОЛЕ
ИНФОРМАТИКА В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ
ИНФОРМАТИКА В 3 КЛАССЕ
ИНФОРМАТИКА В 4 КЛАССЕ
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ. 3 КЛАСС
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ. 4 КЛАСС
ПРОГРАММИРОВАНИЕ ДЛЯ ДЕТЕЙ
СКАЗКА "ПРИКЛЮЧЕНИЯ ЭЛЕКТРОШИ"
ИГРОВЫЕ ТЕХНОЛОГИИ НА УРОКАХ ИНФОРМАТИКИ
ВИКТОРИНЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ
КОМПЬЮТЕРНЫЕ ЧАСТУШКИ
ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ
Поиск
Copyright MyCorp © 2018
Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru