Цель изучения параграфа — изучение свойств функции у = cos x, обучение построению графика функции и применению свойств функции при решении уравнений и неравенств. Теоретический материал параграфа разделен на логические блоки: 1) повторение свойств косинуса числа и применение их для исследования функции у = cos x; 2) построение графика функции у = cos x; 3) изложение свойств функции у = cos x; 4) решение задач с использованием изученных свойств функции. При изучении первого из блоков обобщаются и конкретизируются знания учащихся, полученные ранее: отыскание области определения, множества значений, ограниченности, четности, периодичности функции у = cos x. Все это позволяет перейти ко второй части и выполнить построение графика сначала на отрезке [0; π], затем на отрезке [−π; π] и, наконец, на всей числовой прямой. Доказательство убывания функции на отрезке [0; π] основано на повороте точки P (1; 0) вокруг начала координат и определении косинуса. Форма кривой на этом промежутке уточняется путем построения нескольких конкретных точек (при изучении производной можно будет доказать выпуклость графика функции на этом промежутке с помощью второй производной). Свойства функции формулируются с опорой на построенный график. При изучении блока 1 желательно использовать плакаты (или аналогичную презентацию). Построение графика может выполняться с помощью компьютера (программа, например, GRAPH 16). В дальнейшем для построения синусоиды рекомендуется использовать шаблон. Учащиеся общеобразовательных классов должны уметь «читать» свойства функции по графику, учащимся профильных классов полезно аналитически обосновать каждое свойство. В учебнике свойства функции на всей области определения получают, опираясь на ее свойства на промежутке [0; π]; в профильных классах можно предложить учащимся сформулировать свойства функции y = cos x, опираясь на свойства этой функции на другом отрезке, например на отрезке [−π; 0]. Применение графиков при решении уравнений и неравенств демонстрируется на задачах, которые учащиеся уже решали в 10 классе с помощью единичной окружности. Полезно напомнить это, предложив в дальнейшем пользоваться теми приемами (с помощью окружности или по графику), которые учащимся более удобны. Учащимся общеобразовательных классов достаточно уметь применять график функции при решении уравнений и неравенств на конкретном промежутке. Важно обратить внимание школьников на то, что отыскание корней уравнения всегда начинается с промежутка [0; π], а затем применяется симметрия графика относительно прямых х = πn, n ∈ Z. В задачах 4 и 5 рассматривается построение графика с помощью преобразований. Прежде чем переходить к решению, необходимо повторить алгоритм исследования функций элементарными методами, которые изучались в 10 классе. В задаче 4 прежде чем строить график функции у = cos2 x выполняется преобразование выражения, что позволяет построить график достаточно просто. В задаче 5 фактически показывается прием построения графика функции с помощью умножения ординат на примере графика функции y = х cos x. Выполняя упражнения к параграфу, желательно как можно чаще обращаться к графику, чтобы учащиеся могли свободно ориентироваться и в построении, и в чтении графика. Упражнения 29—31 можно рассмотреть до начала построения графика у = cos x. Упражнения 28, 32—39 в общеобразовательных классах желательно решать с помощью графика. При выполнении упражнения 34 (1) полезно провести рассуждения разными путями.
34. I способ. π 7 ∈[0;π], 8π 9 ∈[0;π]; на отрезке [0; π] функция у = cos x убывает; π 7 < 8π 9 , следовательно, cos π 7 >cos 8π 9 . II способ. π 7 ∈[ 0; π 2 ], cos x > 0 при x∈[ 0; π 2 ), т. е. cos π 7 >0. 8π 9 ∈[ π 2 ;π ], cos x < 0 при x∈( π 2 ;π ], т. е. cos 8π 9 <0. Следовательно, cos π 7 >cos 8π 9 .
Решение упражнения 38 полезно и для закрепления свойств функции у = cos x, и для подготовки к изучению следующего параграфа.
38. 3) sin 5π 8 =sin ( π 2 + π 8 )=cos π 8 . Функция y = cos x убывает на отрезке [0; π]; π 8 ∈ [0; π], 3π 8 ∈ [0; π], π 8 < 3π 8 , следовательно, cos π 8 >cos 3π 8 , и sin 5π 8 >cos 3π 8 .
В результате изучения параграфа все учащиеся должны уметь строить график функции у = cos x, по графику выявлять свойства функции и выполнять упражнения, такие, как 34—36. Учащиеся профильных классов, кроме того, должны уметь исследовать функции, выполнять построение графиков, применять свойства функции в таких упражнениях, как 40, 41, 43, 47.
Решение упражнений
49. Функция y= 1 1+ tg 2 x может быть представлена в виде y= cos 2 x =| cos x | при условии, что область определения функции такова, что x≠ π 2 +πn, n ∈ Z. График функции y= 1 1+ tg 2 x изображен на рисунке 10.
50. 2) Решением неравенства 2t2 − 3t − 2 > 0, где t = cos x, являются промежутки t > 2, t<− 1 2 . Решением исходного неравенства являются решения неравенства cos x<− 1 2 , т. е. 2π 3 +2πn<x< 4π 3 +2πn, n ∈ Z. 50. 3) Неравенство выполняется при условии, что cos x < 0, т. е. π 2 +2πn<x< 3π 2 +2πn (выражение под знаком корня положительно при всех действительных значениях х). По формулам двойного аргумента, выразив cos 4x через cos x, получим cos 4x = 2 cos2 2x − 1 = = 2 (2 cos2 x − 1)2 − 1 = 8 cos4 x − 8 cos2 x + 1. Выражение под знаком корня примет вид 7−8 cos 4 x+8 cos 2 x−1 2 =3−4 cos 4 x+4 cos 2 x . При возведении обеих частей неравенства в четвертую степень получим
3 − 4 cos4 x + 4 cos2 х > 16 cos4 х, 20 cos4 x − 4 cos2 x − 3 < 0.
Обозначим cos2 x = t и решим неравенство 20t2 − 4t − 3 < 0. Его решением является промежуток (−0,3; 0,5), т. е. cos2 x < 0,5, откуда − 2 2 <cos x< 2 2 . Исходное неравенство выполняется при cos x < 0, следовательно, решение принадлежит промежутку − 2 2 <cos x<0. На графике (рис. 11) видно, что решением неравенства является объединение промежутков
