Цель изучения параграфа — изучение свойств функции у = sin x, обучение построению графика функции и применению свойств функции при решении уравнений и неравенств.
Изучение свойств функции у = sin x и построение ее графика можно провести аналогично тому, как это было сделано в § 3. В этом случае целесообразно использовать плакаты, представленные в § 1, для повторения всего теоретического материала, уже известного учащимся. Затем учащиеся общеобразовательных классов могут построить график с помощью учителя и по графику «прочитать» свойства функции. В профильных классах можно предложить учащимся построение графика таким способом выполнить самостоятельно дома, а свойства функции они могут вывести с помощью плакатов.
В учебнике предлагается другой путь изучения свойств функции у = sin x: применение формулы приведения sin x=cos ( x− π 2 ), построение графика функции y = cos x и сдвиг графика вправо на π 2 , получение свойств функции у = sin x из свойств функции у = cos x. В этом случае начать изучение параграфа можно с выполнения упражнений, которые позволят повторить преобразования графиков функций и подведут учащихся к постановке проблемы. Решение проблемы поиска оптимального пути построения графика функции у = sin x будет полезно учащимся.
1. Задать аналитически функцию, график которой получен из графика функции у = х2 сдвигом:
1) вдоль оси Ох на две единицы вправо (влево);
2) вдоль оси Оу на единицу вверх (вниз).
2. Изобразить график функции у = f (x + t), если дан график функции y = f (x):
1) f(x)= 1 3 x 3 , t = ±1;
2) f (x) = cos x, t=− π 2 .
Выполнение последнего задания позволяет перейти к построению графика функции y = sin x.
При решении задач 1 и 2 текста параграфа и упражнений 58, 59, 62—64 необходимо обратить внимание учащихся на отыскание корней уравнения sin x = а с помощью графика. Желательно, чтобы учащиеся сразу указывали точку на оси Ох, соответствующую arcsin a (не забывая, что arcsin a принадлежит отрезку [ − π 2 ; π 2 ] ), а затем, используя свойства функции и особенности графика, находили другие точки.
При решении задачи 3 учащимся профильных классов напоминают, как элементарными методами построить график сложной функции. Полезно обратить внимание учащихся на то, что сложная функция y = f (g (x)), где g (x) — функция периодическая, также является периодической. Повторение теоремы о возрастании и убывании сложной функции (учебник 10 кл., гл. IV, § 2) помогает при исследовании поведения функции на промежутках. При построении графиков в задаче 3 в том и другом заданиях учащиеся повторяют понятие асимптоты (пока только вертикальной).
В главе III они познакомятся с наклонной асимптотой и научатся записывать ее уравнение (материал, необязательный для всех учащихся).
Задача 4 не является сложной: здесь учащиеся знакомятся с построением графиков путем сложения ординат. Однако формирование такого умения необязательно для всех учащихся, поэтому эта задача предлагается для решения учащимся, интересующимся математикой.
На третьем уроке по изучению данного параграфа можно провести проверочную самостоятельную работу (на 15 мин).
1. С помощью графика функции y = cos x [у = sin x] найти корни уравнения
cos x=− 3 2 [ sin x= 3 2 ]
на отрезке [ − 3π 2 ;0 ] [ [ − π 2 ; 3π 2 ] ] .
2. С помощью графика функции у = cos х [у = sin x] найти все решения неравенства cos x≤− 3 2 [ sin x≥ 3 2 ] на отрезке [ − 3π 2 ;0 ] [ [ − π 2 ; 3π 2 ] ] .
3. Расположить в порядке убывания числа
cos 6, cos π 3 , cos − 5π 8 [ sin π 10 , sin 5,9, sin − 5π 4 ] .
4. Построить график функции
y=| sin ( x+ π 3 ) | [у = х + cos х].
Последнее задание учащиеся профильных классов могут выполнять на отдельную оценку.
В результате изучения параграфа все учащиеся должны уметь строить график функции у = sin x, по графику выявлять свойства функции и выполнять упражнения типа 57—59. Учащиеся профильных классов, кроме того, должны уметь исследовать функции, выполнять построение графиков, применять свойства функции в упражнениях 62—64, 70.
Решение упражнений
73. 2) Неравенство 3 sin x − 2 cos2 x < 0 равносильно неравенству 2 sin2 x + 3 sin x − 2 < 0. Пусть sin x = t, 2t2 + 3t − 2 < 0, откуда −2<t< 1 2 , и решениями данного неравенства будут решения неравенства sin x< 1 2 , т. е.
− 7π 6 +2πn<x< π 6 +2πn, n ∈ Z.
| 