Тригонометрические функции определяются традиционно формулами у = sin x, у = cos x, у = tg x и у = ctg x, где х — действительные числа, хотя ранее выражения sin x и cos x определялись как ордината и абсцисса точки единичной числовой окружности, а выражения tg x и ctg x определялись как отношения y x и x y соответственно. Ранее при изучении тригонометрии углы поворота обозначались буквами α и β и выражались как в градусах, так и в радианах. Это было связано с тем, что все основные формулы доказывались с помощью поворота точки единичной окружности с центром в начале координат, а для обозначения координат этой точки использовались буквы х и у. Далее отмечалось, что выражения sin x, cos x, tg x и ctg x (где буква х заменила α и β) суть действительные числа, записанные в тригонометрической форме. Поэтому правомерно считать, что все тригонометрические формулы выражают определенные свойства тригонометрических функций. Среди них следует особо выделить те формулы, которые непосредственно относятся к исследованию тригонометрических функций и построению их графиков. Так, формулы sin (−x) = −sin x и cos (−x) = cos x выражают свойства нечетности и четности соответственно функций у = sin x и у = cos x. Знаки значений синуса, косинуса, тангенса (например, при π 2 < х < π справедливы равенства sin x > 0, a cos x < 0) выражают промежутки знакопостоянства одноименных тригонометрических функций. Неравенства | sin x | ≤ 1 и | cos x | ≤ 1 соответствуют множеству значений этих функций; равенство sin (x + 2πk) = sin x, где k ∈ Z, свидетельствует о периодичности функции у = sin x и т. д. Таким образом, практически все основные свойства тригонометрических функций были доказаны в VIII—IX главах учебника для 10 класса. Отметим, что в тригонометрических уравнениях неизвестное традиционно обозначалось буквой х, хотя простейшие из них (например, sin x = 0, cos x = 1 и др.) решались с помощью поворота. Следует также обратить внимание на некоторые особенности определений свойств функций.
Построение графиков тригонометрических функций проводится с использованием их свойств и начинается с построения графика у = cos x. График у = sin x получается сдвигом графика у = cos x в соответствии с формулой sin x = cos ( x− π 2 ) . С помощью графиков иллюстрируются известные свойства функций, а также выявляются некоторые дополнительные свойства. Так, из графика функции у = cos x следует, что эта функция принимает значение, равное 0, при x= π 2 +πn, n ∈ Z, наибольшее значение при х = 2πn, n ∈ Z, и т. д. С помощью графиков тригонометрических функций легко решаются простейшие тригонометрические уравнения и неравенства (особенно те, которые заданы на некотором промежутке).
Задачи для интересующихся математикой (они содержатся в специально выделенном тексте) знакомят учащихся с доказательством утверждений, являющихся отрицанием факта ограниченности функции, периодичности и пр. Логическая структура этих доказательств специально не обсуждается. Приведенные примеры рассуждений в задачах позволяют провести их анализ и направить в нужное русло поиск учащихся при самостоятельном решении упражнений.
Обратные тригонометрические функции (§ 6) даются в общеобразовательных классах обзорно, в ознакомительном плане. В этих классах полезно также рассмотреть графики функций у = | cos x |, y = a + cos х, у = cos (х + a), у = a cos х, у = cos ax, где а — некоторое число (для профильных классов это обязательно).
В результате изучения главы I все учащиеся должны знать основные свойства тригонометрических функций, уметь строить их графики и распознавать функции по данному графику, уметь отвечать на вопросы к главе, а также решать задачи типа 108—116 и из рубрики «Проверь себя!».
| 