Систематизировать изученные знания можно, например, используя следующую схему:
При рассмотрении схемы повторяются определения всех видов
событий и теоремы, связанные с этими событиями. В профильных классах
при повторении независимых событий можно вспомнить и формулу Бернулли.
Можно организовать повторение теории и с помощью вопросов на с. 201—202
учебника.
На этом уроке решаются ранее нерешенные задания из упражнений к главе VI. Задания «Проверь себя!» могут быть использованы как для фронтальной классной, так и для самостоятельной работы с проверкой в классе. Часть из них может быть предложена для домашней работы, однако при этом учитель должен напомнить учащимся об обязательной сверке своих результатов с ответами к этой рубрике, приведенными в конце учебника.
Решение упражнений
56. 1) P= A 4 2 A 36 2 = C 4 2 C 36 2 = 4⋅3 36⋅35 = 1 105 ; 2) P= 4 36 ⋅ 4 35 = 4 315 ;
3) P= A 9 2 A 36 2 = 9⋅8 36⋅35 = 2 35 , или P= 9 36 ⋅ 8 35 = 2 35 ;
4) P= 4 36−1 = 4 35 ;
58. I способ. Событие «выпало не более двух орлов» состоит из суммы трех несовместных событий: А — выпало 2 орла, В — выпал 1 орел, С — не выпало ни одного орла (выпали одни решки).
P(A)= C 3 2 2⋅2⋅2 = 3 8 , P(B)= C 3 1 8 = 3 8 , P(C)= C 3 0 8 = 1 8
или P(C)= 1 2 ⋅ 1 2 ⋅ 1 2 = 1 8 ;
P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)= 3 8 + 3 8 + 1 8 = 7 8 .
II способ. Если событие А — выпало не более двух орлов, то ему противоположное событие A ¯ — выпало более двух орлов, т. е. 3 орла.
P( A ¯ )= 1 8 , P(A)=1−P( A ¯ )=1− 1 8 = 7 8 .
59. Решение приведено в § 2 настоящего пособия.
61. Событие А — наличие хотя бы одного выигрышного билета; A ¯ — отсутствие выигрышных билетов. Число всех возможных исходов при изъятии k билетов равно C n k . Число исходов, благоприятствующих событию A ¯ , равно C n−m k ;
P(A)=1−P( A ¯ )=1− C n−m k C n k .
62. Число всех возможных исходов равно C m k . Число благоприятствующих исходов (согласно правилу произведения) равно C n p ⋅ C m−n k−p , так как C n p способами можно выбрать р деталей из n бракованных и к каждому этому набору можно присоединить любой набор из небракованных k − р деталей, выбранных из m − n небракованных деталей. Искомая вероятность P= C n p ⋅ C m−n k−p C m k .
63. Число всех возможных исходов равно C 52 26 . Благоприятствующие исходы можно считать так: каждый из C 48 24 наборов карт, среди которых нет тузов, может соединиться C 4 2 способами с двумя тузами, т. е. число благоприятствующих исходов равно C 48 24 ⋅ C 4 2 (вторая пачка образуется автоматически после составления первой пачки). Искомая вероятность P= C 48 24 ⋅ C 4 2 C 52 26 .
64. 9 из 18 команд можно выбрать C 18 9 способами — это число всех возможных исходов опыта со случайным выбором. К пяти командам из одной республики можно присоединить 4 команды из других республик C 13 4 способами. Число благоприятствующих исходов в 2 раза больше числа C 13 4 , так как пятерка команд может оказаться как в первой, так и во второй группе. Таким образом, P= 2⋅ C 13 4 C 18 9 .
65. 4) Р = Р8 (2) + Р8 (1) + Р8 (0) =
= C 8 2 ⋅ ( 1 2 ) 8 + C 8 1 ⋅ ( 1 2 ) 8 + C 8 0 ⋅ ( 1 2 ) 8 = ( 1 2 ) 8 (28+8+1)= 37 256 .
66. 4) Р = Р5 (4) + Р5 (5) = C 5 4 ⋅ ( 1 6 ) 4 ⋅ 5 6 + C 5 5 ⋅ ( 1 6 ) 5 ⋅ ( 5 6 ) 0 =
= ( 1 6 ) 5 (5⋅5+1)= 26 6 5 = 13 3⋅ 6 4 = 13 3888 .
67. Р = Р10 (8) + Р10 (9) + Р10 (10) = 1 2 10 (45+10+1)= 56 2 10 = 7 128 .
Контрольная работа № 6
Общеобразовательный уровень
1. Бросают 2 игральных кубика — большой и маленький. Какова вероятность того, что:
1) на обоих кубиках появятся четыре очка [пять очков];
2) на большом кубике появится 2 очка, а на маленьком — четное число очков [на маленьком кубике появится кратное 3 число очков, а на большом — 5 очков].
2. В коробке лежат 3 черных, 2 белых и 4 красных шара. Случайным образом вынимается один шар. Какова вероятность того, что это или белый, или красный шар [или черный, или красный шар]?
3. Вероятность попадания по мишени стрелком равна 19 20 [ 14 15 ] . Какова вероятность: 1) непопадания по мишени при одном выстреле? 2) попадания по мишени в каждом из двух последовательных выстрелов? 3) попадания при первом и промахе — при втором выстреле?
4. В коробке лежат 4 белых и 3 черных шара. Наугад вынимают два шара. Какова вероятность того, что вынуты белый и черный шары [два черных шара]?
5. В вазе стоят 5 гвоздик и 6 нарциссов. Какова вероятность того, что среди трех случайным образом вынутых цветков окажется по крайней мере одна гвоздика [один нарцисс]?
Профильный уровень
1. В вазе лежат 7 яблок и 4 груши. Не глядя из вазы последовательно берут 2 фрукта, не возвращая их обратно. Какова вероятность того, что второй извлечена груша, при условии, что первой также была извлечена груша [вторым извлечено яблоко, при условии, что первой была извлечена груша]?
2. В ящике лежат 15 красных и 5 синих шаров. Наугад вынимают 2 шара. Какова вероятность того, что вынуты шары разных цветов [оба шара оказались красными]?
3. В коробке лежат 10 деталей, среди которых 4 [3] легче остальных. Случайным образом на 6 [7] из них сделали напыление. Какова вероятность того, что вынутая из коробки деталь окажется легкой без напыления [тяжелой с напылением]?
4. См. № 5 базового уровня.
5. Вероятность поражения мишени стрелком равна 0,9. Какова вероятность того, что после четырех выстрелов мишень будет поражена хотя бы двумя пулями [после пяти выстрелов мишень будет поражена хотя бы четырьмя пулями]?
6. Среди 10 [12] деталей 4 [5] бракованных. Наугад вынимают 3 детали. Какова вероятность того, что среди вынутых деталей две окажутся бракованными? | 