Цель изучения параграфа — знакомство с различными видами событий, комбинациями событий; введение понятия вероятности события (в классическом понимании) и обучение нахождению вероятности случайного события с очевидными благоприятствующими исходами.
Содержание п. 1, 3 и частично п. 2 (кроме комбинаций событий) повторяет содержание соответствующих разделов пособия [9] из приведенного выше списка, поэтому рассмотрение этого текста не должно вызвать затруднений у учащихся. Тем не менее из-за большого количества вводимых понятий работу по усвоению каждого из них рекомендуется вести по схеме: 1) введение нового понятия; 2) рассмотрение учителем примеров, иллюстрирующих понятие, выделение существенных признаков понятия; 3) приведение учащимися примеров событий, соответствующих рассматриваемому виду событий; 4) выполнение соответствующих упражнений.
При изучении материала п. 3 (на втором уроке) следует напомнить учащимся статистическое определение вероятности (см., например, материал введения к этой главе и § 12 пособия [9]). Многие испытания, проводимые в одних и тех же условиях, не приводят к равновозможным элементарным исходам; найти их вероятности с помощью классического определения невозможно и приходится проводить большую серию практических испытаний с вычислением относительной частоты рассматриваемого события. В качестве примера можно исследовать вопрос нахождения вероятности события А — подброшенная кнопка упала «острием» вверх.
Заметим, что если в условии задачи не введены обозначения событий, то при решении задач это необходимо сделать. Например, решение упражнения 5 нужно начать со слов: «Пусть событие А — выпадение числа, кратного 3, в результате одного подбрасывания кости».
Для успешного решения в дальнейшем задач на нахождение вероятностей «комбинированных» событий с учащимися профильных классов следует повторять (на следующих уроках) материал п. 2.
Основными объектами постановки вероятностных задач будут правильные монеты и кубики, игральные карты, наборы костей домино и т. п. Учитель регулярно (на этих и последующих уроках) может задавать учащимся устные вопросы, самостоятельно конструируя несложные задачи, решаемые с помощью определения вероятности события.
1) Какова вероятность того, что при одном броске игральной кости выпадает число очков, меньшее пяти?
2) Какова вероятность того, что вынутая случайным образом из набора домино кость окажется дублем?
3) С какой вероятностью, извлекая из колоды в 36 карт одну из них, можно вынуть семерку черной масти?
4) В коробке лежат 2 белых, 3 красных и 4 синих шара; какова вероятность получить красный шар, извлекая случайным образом один шар?
При разборе задачи 3 текста параграфа следует обратить внимание учащихся на записи пар выпавших сторон монет (ОО; ОР; РО; РР) — без использования запятой между буквами. Тем самым подчеркивается, что пары упорядоченные (первая буква соответствует первой монете, вторая — второй). Запятую между элементами множеств будем использовать тогда, когда их порядок в совокупности не будет иметь значения.
В результате изучения параграфа все учащиеся должны усвоить понятия случайных, достоверных и невозможных событий, несовместных событий, элементарных событий; уметь находить сумму и произведение двух событий; понимать, что такое событие, противоположное данному; знать определение вероятности события (в классическом понимании) и находить вероятности событий в упражнениях типа 6, 7. Учащиеся профильных классов должны уметь решать упражнения типа 9—11.
Решение упражнений
10. Число всех возможных исходов испытания п = 6 · 6 = 36 (см. задачу 4 текста параграфа).
1) Нечетной сумма двух чисел будет тогда, когда одно слагаемое — четное число, а другое — нечетное. На каждой кости 3 четных и 3 нечетных числа очков. Число благоприятствующих исходов m = 2 · (3 · 3) = 18 (см. таблицу 1 исходов-сумм), P= m n = 18 36 = 1 2 .
2) Произведение двух множителей четно, когда хотя бы один из них — четное число, поэтому m = 3 · 6 + 3 · 3 = 27 (см. таблицу 2 исходов-произведений), P= 27 36 = 3 4 .
3) m = 21, P= 21 36 = 7 12 (см. таблицу 1).
11. n= C 15 2 = 15⋅14 1⋅2 =105 . 1) m= C 3 2 =3 , P= 3 105 = 1 35 ;
2) m = 3 · (15 − 3) = 36, P= 36 105 = 12 35 ;
3) m= C 12 2 = 12⋅11 1⋅2 =66 , P= 66 105 = 22 35 .
12. п = 36. Благоприятные исходы 2 и 1; 3 и 2, 3 и 1; 4 и 3, 4 и 2, 4 и 1; 5 и 4, 5 и 3, 5 и 2, 5 и 1; 6 и 5, 6 и 4, 6 и 3, 6 и 2, 6 и 1, т. е. т = 15, P= 15 36 = 5 12 .
13. n = (1 + 3 + 4) · (3 + 2 + 3) = 8 · 8 = 64, m = 1 · 3 + 3 · 2 + 4 · 3 = 21, P= 21 64 . |
