Цель изучения параграфа — научить выявлять фигуры, ограниченные данными линиями, и находить площади этих фигур. Материал параграфа изучается только в профильных классах: обучающиеся по базовому уровню стандарта должны уметь вычислять площади криволинейных трапеций в простейших случаях, тех, которые были рассмотрены в предыдущем параграфе. Прежде чем переходить к изучению нового материала, целесообразно повторить построение графиков некоторых элементарных функций. Для этого достаточно по готовым чертежам напомнить алгоритм построения того или иного графика, например по рисункам 25—30. Изучение можно проводить непосредственно по тексту параграфа, разбирая задачи текста и примеры к ним. Полезно пойти и другим путем. Сначала решить все задачи текста, выделяя особо случаи, когда фигура ограничена: 1) графиком функции, принимающей отрицательные значения; 2) графиками двух функций; 3) графиками двух функций, одна из которых линейная, что позволяет находить одну из площадей по известным из курса геометрии формулам. Затем можно приступить к решению упражнений. В любом случае, прежде чем начинать вычислять, необходимо провести анализ условия и прикинуть, какой вид будет иметь фигура, площадь которой предстоит вычислить. В качестве упражнений для актуализации знаний можно использовать работу по готовым чертежам, используя рисунки тех фигур, площади которых предстоит находить на уроке, не указывая конкретные пределы интегрирования. Это позволит тратить меньше времени на выявление пределов при выполнении упражнений и будет способствовать формированию умений в нахождении оптимальных путей решения задач. Например, по рисункам 31—36 назвать, из каких фигур состоит фигура, площадь которой вычисляется, и указать пределы интегрирования. Эти рисунки можно использовать при решении упражнений 26—32.
Решая задачи, учащиеся сами выбирают путь рассуждений, однако, хотя бы раз желательно рассмотреть разные пути решения. Например, упражнение 26 (3) можно решать двумя способами.
I способ (рис. 37). График функции у = 4х − х2 — парабола, x1 = 0, x2 = 4 — нули функции, D (2; 4) — вершина. Прямая, проходящая через точки B (4; 0) и С (1; 3), пересекает параболу в этих точках (можно проверить, подставив в уравнение параболы). Фигура ОСВ, площадь которой нужно найти, состоит из фигур ОАС и CAB; S CAB = 1 2 ⋅CA⋅AB= 1 2 ⋅3⋅3=4 1 2 ; S OAC = ∫ 0 1 (4x− x 2 )dx= ( 4⋅ x 2 2 − x 3 3 ) | 0 1 =1 1 2 =1 2 3 ; S OCB =4 1 2 +1 2 3 =6 1 6 .
II способ. Запишем уравнение прямой, проходящей через точки (4; 0), (1; 3), для чего решим систему уравнений { 0=k⋅4+b, 3=k⋅1+b, откуда у = 4 − х. Найдем площадь фигуры CAB с помощью интеграла: S CAB = ∫ 1 4 (4−x)dx= ( 4x− x 2 2 ) | 1 4 =8−3 1 2 =4 1 2 . Далее найдем, как в предыдущем способе, SOAC, SOCB.
Выполняя упражнения 26—28, учащиеся используют рассуждения, подобные тем, что приведены в задаче 2 текста параграфа; с помощью задачи 3 вычисляется площадь в упражнении 29; с помощью задачи 4 решаются упражнения 30—31; решения задач 3 и 4 помогут при выполнении упражнения 32. Желательно, чтобы учащиеся, где возможно, использовали симметрию графиков, например в упражнении 28 (2, 3, 5, 6). При выполнении упражнений 31 (1, 2, 3), 32 (1, 5, 6) целесообразно обратить внимание учащихся на то, что выяснить взаимное расположение графиков функций на заданном отрезке можно и аналитически. Решение соответствующих неравенств будет полезно. Система упражнений параграфа позволяет провести изучение теории в форме урока-практикума.
В результате изучения параграфа учащиеся профильных классов должны уметь решать упражнения, такие, как 25, 26 (1, 2), 27 (1, 2), 29.
Решение упражнений
47. 1) Исследуем функцию у = х3 − 3х2 − 9х + 1 и изобразим ее график на отрезке [0; 1] (рис. 38). Так как у′ = 3х2 − 6х − 9, то стационарные точки x1 = −1, х2 = 3; функция на интересующем нас промежутке убывающая, причем y (0) = 1, y (1) = −10. Как видно из рисунка 38, SAEDC = SAEDF + SAFC, где AEDF — прямоугольник со сторонами 1 и 5. Площадь криволинейной трапеции AFC можно найти как ∫ 0 1 (−f(x)+1) dx , т. е.
у = − (х3 − 3х2 − 9х + 1) + 1 = −х3 + 3х2 + 9x,
S AFC = ∫ 0 1 (− x 3 +3 x 2 +9x) dx= ( − x 4 4 +3 x 3 3 +9 x 2 2 ) | 0 1 =− 1 4 +1+4,5=5,25.
Следовательно, SAEDC = 5 + 5,25 = 10,25. SAEDC можно найти иначе
SAEDC = SKEDC − SKAC,
где SKEDC = 16; SKAC можно найти по формуле S KAC = ∫ 0 1 (f(x)+10) dx; S KAC = ∫ 0 1 ( x 3 −3 x 2 −9x+11) dx= ( x 4 4 −3 x 3 3 −9 x 2 2 +11x ) | 0 1 =5,75, откуда SAEDC = 16 − 5,75 = 10,25.
