Вторник, 19.01.2021, 11:48
Ш  К  О  Л  А     П  И  Ф  А  Г  О  Р  А
      Предмет математики настолько серьезен, что нужно
не упускать случая, сделать его немного занимательным".
                                                                           Блез Паскаль
Главная | Регистрация | Вход Приветствую Вас Гость | RSS
ПАМЯТКИ ПО МАТЕМАТИКЕ   ВЕЛИКИЕ МАТЕМАТИКИ   ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ   МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
УРОКИ МАТЕМАТИКИ В ШКОЛЕ


МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КЛАДОВАЯ


В МИРЕ ЗАДАЧ
ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ
МАТЕМАТИКА В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ
ВАРИ, КОТЕЛОК!
УДИВИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
В МИРЕ ИНТЕРЕСНОГО
Категории раздела
10 КЛАСС [78]
11 КЛАСС [65]
Статистика

Онлайн всего: 4
Гостей: 4
Пользователей: 0
Форма входа

Главная » Файлы » ПРЕПОДАЕМ АЛГЕБРУ И НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА » 11 КЛАСС

Вычисление площадей фигур с помощью интегралов
26.10.2014, 22:39
      Цель изучения параграфа — научить выявлять фигуры, ограниченные данными линиями, и находить площади этих фигур.
      Материал параграфа изучается только в профильных классах: обучающиеся по базовому уровню стандарта должны уметь вычислять площади криволинейных трапеций в простейших случаях, тех, которые были рассмотрены в предыдущем параграфе.
      Прежде чем переходить к изучению нового материала, целесообразно повторить построение графиков некоторых элементарных функций. Для этого достаточно по готовым чертежам напомнить алгоритм построения того или иного графика, например по рисункам 25—30.
      Изучение можно проводить непосредственно по тексту параграфа, разбирая задачи текста и примеры к ним. Полезно пойти и другим путем. Сначала решить все задачи текста, выделяя особо случаи, когда фигура ограничена: 1) графиком функции, принимающей отрицательные значения; 2) графиками двух функций; 3) графиками двух функций, одна из которых линейная, что позволяет находить одну из площадей по известным из курса геометрии формулам. Затем можно приступить к решению упражнений. В любом случае, прежде чем начинать вычислять, необходимо провести анализ условия и прикинуть, какой вид будет иметь фигура, площадь которой предстоит вычислить.
      В качестве упражнений для актуализации знаний можно использовать работу по готовым чертежам, используя рисунки тех фигур, площади которых предстоит находить на уроке, не указывая конкретные пределы интегрирования. Это позволит тратить меньше времени на выявление пределов при выполнении упражнений и будет способствовать формированию умений в нахождении оптимальных путей решения задач. Например, по рисункам 31—36 назвать, из каких фигур состоит фигура, площадь которой вычисляется, и указать пределы интегрирования. Эти рисунки можно использовать при решении упражнений 26—32.


      Решая задачи, учащиеся сами выбирают путь рассуждений, однако, хотя бы раз желательно рассмотреть разные пути решения. Например, упражнение 26 (3) можно решать двумя способами.
   

      I способ (рис. 37). График функции у = 4х − х2 — парабола, x1 = 0, x2 = 4 — нули функции, D (2; 4) — вершина.
      Прямая, проходящая через точки B (4; 0) и С (1; 3), пересекает параболу в этих точках (можно проверить, подставив в уравнение параболы). Фигура ОСВ, площадь которой нужно найти, состоит из фигур ОАС и CAB;
S CAB = 1 2 ⋅CA⋅AB= 1 2 ⋅3⋅3=4 1 2 ;
S OAC = ∫ 0 1 (4x− x 2 )dx= ( 4⋅ x 2 2 − x 3 3 ) | 0 1 =1 1 2 =1 2 3 ;
S OCB =4 1 2 +1 2 3 =6 1 6 .


       II способ. Запишем уравнение прямой, проходящей через точки (4; 0), (1; 3), для чего решим систему уравнений { 0=k⋅4+b, 3=k⋅1+b, откуда у = 4 − х. Найдем площадь фигуры CAB с помощью интеграла:
S CAB = ∫ 1 4 (4−x)dx= ( 4x− x 2 2 ) | 1 4 =8−3 1 2 =4 1 2 .
      Далее найдем, как в предыдущем способе, SOAC, SOCB.

      Выполняя упражнения 26—28, учащиеся используют рассуждения, подобные тем, что приведены в задаче 2 текста параграфа; с помощью задачи 3 вычисляется площадь в упражнении 29; с помощью задачи 4 решаются упражнения 30—31; решения задач 3 и 4 помогут при выполнении упражнения 32.
      Желательно, чтобы учащиеся, где возможно, использовали симметрию графиков, например в упражнении 28 (2, 3, 5, 6).
      При выполнении упражнений 31 (1, 2, 3), 32 (1, 5, 6) целесообразно обратить внимание учащихся на то, что выяснить взаимное расположение графиков функций на заданном отрезке можно и аналитически. Решение соответствующих неравенств будет полезно.
      Система упражнений параграфа позволяет провести изучение теории в форме урока-практикума.
  
      В результате изучения параграфа учащиеся профильных классов должны уметь решать упражнения, такие, как 25, 26 (1, 2), 27 (1, 2), 29.

Решение упражнений

      47.  1) Исследуем функцию у = х3 − 3х2 − 9х + 1 и изобразим ее график на отрезке [0; 1] (рис. 38). Так как у′ = 3х2 − 6х − 9, то стационарные точки x1 = −1, х2 = 3; функция на интересующем нас промежутке убывающая, причем y (0) = 1, y (1) = −10. Как видно из рисунка 38, SAEDC = SAEDF + SAFC, где AEDF — прямоугольник со сторонами 1 и 5. Площадь криволинейной трапеции AFC можно найти как ∫ 0 1 (−f(x)+1) dx , т. е.

у = − (х3 − 3х2 − 9х + 1) + 1 = −х3 + 3х2 + 9x,

S AFC = ∫ 0 1 (− x 3 +3 x 2 +9x) dx= ( − x 4 4 +3 x 3 3 +9 x 2 2 ) | 0 1 =− 1 4 +1+4,5=5,25.


Следовательно, SAEDC = 5 + 5,25 = 10,25.
      SAEDC можно найти иначе

SAEDC = SKEDC − SKAC,

где SKEDC = 16; SKAC можно найти по формуле
S KAC = ∫ 0 1 (f(x)+10) dx;
S KAC = ∫ 0 1 ( x 3 −3 x 2 −9x+11) dx= ( x 4 4 −3 x 3 3 −9 x 2 2 +11x ) | 0 1 =5,75,
откуда SAEDC = 16 − 5,75 = 10,25.
Категория: 11 КЛАСС | Добавил: admin | Теги: Методика преподавания математики в, Уроки математики, советы по преподаванию алгебры в 11, поурочное планирование алгебры в 11
Просмотров: 804 | Загрузок: 0 | Рейтинг: 0.0/0
УЧИТЕЛЮ ИНФОРМАТИКИ
КОНСПЕКТЫ УРОКОВ
ВНЕКЛАССНЫЕ МЕРОПРИЯТИЯ ПО ИНФОРМАТИКЕ
ПОСОБИЯ И МЕТОДИЧКИ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ ИНФОРМАТИКИ
ИЗ ОПЫТА РАБОТЫ УЧИТЕЛЯ ИНФОРМАТИКИ
ЗАДАНИЯ ШКОЛЬНОЙ ОЛИМПИАДЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ


ИНФОРМАТИКА В ШКОЛЕ


ИНФОРМАТИКА В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ
ИНФОРМАТИКА В 3 КЛАССЕ
ИНФОРМАТИКА В 4 КЛАССЕ
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ. 3 КЛАСС
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ. 4 КЛАСС
ПРОГРАММИРОВАНИЕ ДЛЯ ДЕТЕЙ
СКАЗКА "ПРИКЛЮЧЕНИЯ ЭЛЕКТРОШИ"
ИГРОВЫЕ ТЕХНОЛОГИИ НА УРОКАХ ИНФОРМАТИКИ
ИГРОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ИНФОРМАТИКЕ
ВИКТОРИНЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ
КОМПЬЮТЕРНЫЕ ЧАСТУШКИ
ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ
Поиск


Друзья сайта
  • Создать сайт
  • Все для веб-мастера
  • Программы для всех
  • Мир развлечений
  • Лучшие сайты Рунета
  • Кулинарные рецепты

  • Copyright MyCorp © 2021
    Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru