Занимаясь математикой, вы постоянно пользуетесь очевидными свойствами действительных чисел, даже не замечая этого, например: сумма чисел не зависит от порядка слагаемых.

Приведем основные свойства операций сложения и умножения на множестве действительных чисел F.

1) Для каждых трех элементов a, b, c ∈ F a+(b+c)=(a+b)+c.

2) В множестве F есть элемент 0 такой, что для каждого a ∈ F a+0=0+a=a.

3) Для каждого элемента a ∈ F существует такой элемент x ∈ F, что a+x=x+a=0 (такой элемент называется противоположным к данному).

4) Для каждых двух элементов a, b ∈ F a+b=b+a.

5) Для каждых трех элементов a, b, c ∈ F a∙(b∙c)=(a∙b)∙c.

6) В множестве F есть элемент 1 (не равный 0) такой, что для каждого a ∈ F a∙1=1∙a=a.

7) Для каждого элемента a ∈ F, a≠0 существует такой элемент x ∈ F, что a∙x=x∙a=1 (такой элемент называется обратным к данному).

8) Для каждых двух элементов a, b ∈ F a∙b=b∙a.

9) Для каждых трех элементов a, b, c ∈ F a∙(b+c)=a∙b+a∙c.

Свойства 1) – 4) — это свойства операции сложения, свойства 5) – 8) — свойства операции умножения, а свойство 9) устанавливает связь между этими двумя операциями.

Оказывается, в математике существует много других множеств с парами операций на них, обладающих теми же самыми свойствами. Для таких множеств есть даже специальное название: поле.

Полем называется множество F с двумя отображениями («операциями»), каждое из которых сопоставляет любой паре элементов из F однозначно определенный третий элемент из F, и эти отображения (условно обозначаемые «+» и «∙») удовлетворяют девяти аксиомам (свойствам), приведенным выше.

Особенно важными для криптографии являются конечные поля. Сконструируем одно из таких полей.

Пусть p — простое число. Рассмотрим множество чисел {0, 1, 2, ..., p−1} с операциями сложения и умножения по модулю p (суммой двух чисел считаем остаток от деления на p обычной суммы, произведением — остаток от деления на p обычного произведения). Легко проверить, что свойства 1) – 4) выполнены: для свойств 1) и 4) это очевидно, элемент 0 в свойстве 2) — это обычный нуль, противоположный к элементу a в свойстве 3) — это элемент p — a. Так же легко проверяются свойства 5), 6), 8) и 9). Свойство 7) надо доказывать. Предлагаем вам доказать это самостоятельно, поясним только идею: для каждого a ∈ {0, 1, 2, ..., p−1} требуется найти такие x и y, что ax=1+py, т.е. ax−py=1, а такие x и y всегда можно найти с помощью алгоритма Евклида.

Конечное поле — очень интересный математический объект. Оказывается, например, что число элементов в конечном поле может быть только степенью простого числа, и наоборот, для любого простого числа p и для любого натурального числа n существует и в некотором смысле единственное поле из pⁿ элементов. Для него введено даже специальное обозначение: GF(pⁿ).

Поясним более подробно, в каком смысле поле из pⁿ элементов единственно. В математике принято не различать многие объекты, изучаемые свойства которых совпадают. Например, для того, чтобы складывать и умножать, вовсе не обязательно учить отдельно таблицы сложения и умножения для яблок, и отдельно — для стульев. Достаточно уметь складывать числа. Число в данной ситуации можно представлять как количество единиц некоторого обобщенного продукта, неважно какого. В теории полей два поля F и G считаются «одинаковыми» или изоморфными, если можно построить такое взаимно-однозначное отображение s:F→G, чтобы для любых x₁,x₂∈F выполнялись условия s(x₁+x₂)=s(x₁)+s(x₂), s(x₁x₂)=s(x₁)s(x₂). Фактически это означает, что можно взаимно-однозначно сопоставить всем элементам одного поля элементы другого так, что таблицы умножения и сложения в этих полях будут «одинаковыми». Легко, например, доказать, что при изоморфизме нуль переходит в нуль, единица — в единицу.

Яркий пример использования полей в криптографии вы найдете в этюде 3.5, описывающем криптосистему RSA. Для ее полного понимания рекомендуем решить (или прочитать в любой книге по теории чисел, например, в книге И.М. Виноградова «Основы теории чисел» или в книге О. Оре «Приглашение в теорию чисел») приведенные ниже задачи.

Подумайте сами:

1. Функцией Эйлера (обозначение φ(n)) называется количество неотрицательных целых чисел, меньших n и взаимно простых с n. Пусть n = p₁^α₁∙...∙p_k^α_k, где p₁, ..., p_k — различные простые числа, а α₁, ..., α_k — натуральные. Доказать, что

2. (Малая теорема Ферма). Пусть p — простое число, a — число взаимно простое с p. Докажите, что тогда

3. (Теорема Эйлера). Пусть a и n — взаимно простые числа. Докажите, что тогда