Первый значительный шаг вперед после «Великого искусства» Кардано был сделан примерно в середине восемнадцатого столетия. Хотя математики Возрождения научились решать уравнения третьей и четвертой степеней, их методы, по существу, сводились к ряду трюков. Каждый такой трюк успешно работал, но, как представлялось, скорее из-за серии совпадений, нежели по какой-либо систематической причине. Изучить и окончательно обосновать эту причину около 1770 года удалось двум математикам — Жозефу-Луи Лагранжу, уроженцу Италии, всегда считавшему себя французом, и Александру-Теофилу Вандермонду — французу вне всякого сомнения.

Вандермонд родился в Париже в 1735 году. Отец хотел, чтобы он стал музыкантом, и Вандермонд достиг совершенства в игре на скрипке и ступил на путь музыкальной карьеры, но в 1770 году заинтересовался математикой. Его первая математическая публикация была посвящена симметричным функциям корней многочлена — алгебраическим формулам типа суммы всех корней, которые не меняются, если корни поменять местами. Наиболее оригинальной частью его работы было доказательство, что уравнение xⁿ − 1 = 0, связанное с правильным п-угольником, можно решить в радикалах, если n меньше или равно 10. (На самом деле оно разрешимо в радикалах для любого n.) Великий французский аналитик Огюстен-Луи Коши позднее ссылался на Вандермонда как на первого, кто осознал, что к задаче решения уравнений в радикалах можно применить симметрические функции.

В руках Лагранжа эта идея стала отправной точкой для атаки на все алгебраические уравнения.

Лагранж родился в итальянском городе Турине и был наречен Джузеппе Лодовико Лагранджиа. Семья имела французские корни: прадед сначала был капитаном французской кавалерии, а потом переехал в Италию и поступил на службу к герцогу Савойскому. Еще в ранней молодости Джузеппе начал писать свою фамилию как «Лагранж», в качестве имени при этом используя Лодовико или Луиджи. Его отец был казначеем в Министерстве общественных работ и укреплений в Турине; мать Тереса Гроссо была дочерью врача. Лагранж был первым из их одиннадцати детей, лишь двоим из которых довелось дожить до зрелых лет.

Семья относилась к высшим слоям итальянского общества, однако в результате некоторых неудачных вложений Лагранжи оказались практически разорены. Было решено, что молодой Лагранж будет изучать право, и он поступил в Туринский университет. Ему нравились право и классические предметы, а математические занятия, на которых в основном преподавалась эвклидова геометрия, наводили на юношу тоску. Однако попавшаяся ему как-то раз книга по алгебраическим методам в оптике, написанная английским астрономом Эдмондом Галлеем, самым решительным образом переменила его мнение о математике. Лагранж направился по пути, который и стал определяющим в его ранних исследованиях, — применение математики к механике и в особенности к небесной механике.

Он женился на своей кузине Виттории Конти. «Моя жена, приходящаяся мне кузиной (и даже жившая в течение долгого времени в нашем семействе), — прекрасная хозяйка и совершенно не требовательна», — писал он своему другу, также математику, Жану ле Рон д'Аламберу. Он также доверительно сообщал ему, что вообще не собирается иметь детей — так оно и вышло.

Лагранж занял должность в Берлине, написал много научных статей и несколько раз становился обладателем ежегодной премии Французской академии: в 1772 году он получил награду вместе с Эйлером, в 1774-м был удостоен ее за работу по динамике Луны, а в 1780-м — за работу о влиянии планет на орбиты комет. Другим его пристрастием была теория чисел. В 1770 году он доказал теорему, представляющую собой классику жанра, — теорему о четырех квадратах, согласно которой всякое положительное целое число представимо в виде суммы четырех квадратов. Например, 7 = 2² + 1² + 1² + 1², 8 = 2² + 2² + 0² + 0² и так далее.

Он стал членом Французской академии наук и перебрался в Париж, где и провел всю оставшуюся жизнь. Он полагал, что разумно подчиняться законам страны проживания даже в случае личного с ними несогласия, — точка зрения, которая, возможно, помогла ему избежать участи многих других интеллектуалов во время Французской революции. В 1788 году Лагранж опубликовал свой шедевр — «Аналитическую механику», где переосмыслил механику как ветвь анализа. Он гордился тем, что в его объемистой книге вообще нет рисунков; в его глазах это делало изложение логически более строгим.

В 1792 году Лагранж женился второй раз, на дочери астронома Рене-Франсуазе-Аделаиде ле Моннье. В августе 1793 года, во время Террора, Академию закрыли; единственной ее частью, не прекратившей функционировать, была Комиссия мер и весов. От работы были отстранены многие ведущие ученые — химик Антуан Лавуазье, физик Шарль Огюстен Кулон, а также Пьер Симон Лаплас. Лагранж стал новым председателем Комиссии мер и весов.

К этому моменту у него стали возникать проблемы из-за его итальянского происхождения. Революционное правительство провело закон, требовавший ареста каждого иностранца, родившегося во враждебной стране. Лавуазье, тогда еще сохранявший свое влияние, добился, чтобы Лагранжа исключили из списков тех, кто подпадал под действие нового закона. Вскоре революционный трибунал приговорил Лавуазье к смерти, и на следующий же день его гильотинировали. Лагранж заметил, что «только мгновение потребовалось, чтобы пала его голова, но сотни лет не хватит, чтобы появилась другая такая».

При Наполеоне Лагранж получил целый ряд почестей: он стал кавалером Ордена почетного легиона, в годы Империи, в 1808 году, ему был пожалован титул графа, а в 1813-м он стал кавалером Большого Креста Императорского Ордена Содружества. Через неделю после получения Большого Креста он скончался.

В 1770 году — в год открытия теоремы о четырех квадратах — Лагранж взялся за написание обширного трактата по теории уравнений, говоря при этом: «В данном мемуаре я предполагаю исследовать различные методы, найденные к настоящему моменту для алгебраического решения уравнений, свести их к общим принципам и объяснить a priori, почему эти методы приводят к успеху в степени три и четыре, но непригодны для старших степеней». Как выразился Жан-Пьер Тиньоль в своей книге «Теория Галуа алгебраических уравнений», Лагранж «явным образом намеревался определить не только как, но и почему эти методы работают».

Лагранж добился гораздо более глубокого понимания методов эпохи Возрождения, чем сами их изобретатели; он даже доказал, что найденную им общую схему, объяснявшую их успехи, нельзя распространить на степени пять и выше. Тем не менее он не смог сделать следующего шага — выяснить, возможно ли какое-нибудь решение в этих случаях. Вместо этого он сообщает нам, что его результаты «окажутся полезными для тех, кто захочет заняться решением уравнений высших степеней, поскольку снабдят их различными взглядами на этот вопрос и, главное, предохранят от большого числа ложных шагов и попыток».

Лагранж обратил внимание, что все специальные приемы, которые использовали Кардано, Тарталья и другие, основывались на одном методе. Вместо того чтобы непосредственно искать корни заданных уравнений, они пытались свести задачу к решению некоторого вспомогательного уравнения, корни которого связаны с исходными, однако отличаются от них.

Вспомогательное уравнение в случае кубического уравнения было более простым — квадратным. Эту «разрешающую квадрику» можно было решить вавилонскими методами; решение же кубического уравнения затем восстанавливалось путем извлечения кубического корня. Именно такова структура формулы Кардано. Для уравнения четвертой степени вспомогательное уравнение тоже было более простым — кубическим. Эту «разрешающую кубику» можно было решить методом Кардано; решение же уравнения четвертой степени затем восстанавливалось извлечением корня четвертой степени — другими словами, кратным извлечением квадратного корня. Именно такова структура формулы Феррари.

Можно представить себе растущее воодушевление Лагранжа. Если подобная закономерность сохранится, то уравнение пятой степени будет иметь «разрешающую квадрику», которую можно будет решить методом Феррари, а затем извлечь корень пятой степени. И процесс может продолжиться: уравнение шестой степени будет иметь разрешающую квинтику, которую можно будет решить с помощью того, что получит известность как метод Лагранжа. Он сможет решить уравнения любой степени.

Суровая реальность вернула его на землю. Разрешающее уравнение для уравнения пятой степени оказалось не квартикой, а уравнением более высокой степени — шестой. Тот самый метод, который позволил упростить кубику и квартику, привел к усложнению квинтики.

Достичь прогресса в математике посредством замены сложной задачи на еще более сложную невозможно. Объединенный метод Лагранжа отказал на уравнении пятой степени. Тем не менее Лагранж не доказал, что уравнение пятой степени неразрешимо, так как могли существовать и какие-то другие методы.

В самом деле, почему бы и нет?

Для Лагранжа это был риторический вопрос. Однако один из его последователей отнесся к этому вопросу серьезно и ответил на него.

Его звали Паоло Руффини, и когда я говорю, что он «ответил» на риторический вопрос Лагранжа, я слегка лукавлю. Он полагал, что ответил, и его современники не обнаружили в его ответе ничего неверного — отчасти потому, что никогда не воспринимали его работы настолько серьезно, чтобы в самом деле подвергнуть их всесторонней проверке. Руффини прожил свою жизнь в убеждении, что доказал неразрешимость уравнения пятой степени в радикалах. Только после его смерти оказалось, что в его доказательстве имеется значительный пробел. Его легко было просмотреть среди многих и многих страниц запутанных вычислений; проблема состояла в некотором «очевидном» допущении — таком, что он даже не заметил, что это предположение делалось.

Как знает из собственного горького опыта каждый профессиональный математик, очень трудно заметить, что вы делаете неявное предположение, — трудно в первую очередь потому, что оно делается неявно.

Руффини родился в 1765 году в семье врача. В 1783-м он поступил в университет Модены, где изучал медицину, философию, литературу и математику. Геометрии он учился у Луиджи Фантини, а анализу — у Паоло Кассиани. Когда Кассиани переехал, чтобы занять при семействе Эсте должность управляющего их обширными владениями, Руффини — в тот момент еще студент — взял на себя курс анализа, который читал Кассиани. В 1788 году он получил степень по философии, медицине и хирургии, а степень по математике — в 1789-м. Вскоре после этого он сменил на профессорской должности Фантини, зрение которого быстро ухудшалось.

Ход его научных занятий был прерван течением мировых событий. Разбив в 1796 году войска Австрии и Сардинии, Наполеон Бонапарт обратил свой взгляд на Турин и захватил Милан. Вскоре он оккупировал Модену, и Руффини пришлось принять участие в политической деятельности. Вначале он собирался вернуться в университет в 1798 году, но по религиозным соображениям отказался приносить присягу республике. Воспоследовавшая незанятость оставила ему больше времени на исследования, и он целиком сосредоточился на все еще не урегулированном вопросе об уравнениях пятой степени.

Руффини убедил себя, что есть веская причина, по которой никому не удавалось найти решение: решения попросту не существует. А именно — нет формулы, включающей в себя только радикалы (а не что-то более эзотерическое), которая давала бы решение общего уравнения пятой степени. В своей двухтомной «Общей теории уравнений», опубликованной в 1799 году, он утверждал, что умеет это доказывать, заявляя, будто «алгебраическое решение общих уравнений степени большей четырех невозможно. Перед вами очень важная теорема, которую, как я полагаю, я, судя по всему, в состоянии доказать. Представить ее доказательство — главная цель публикации данного тома. Основы моего доказательства заложил своими высокими рассуждениями бессмертный Лагранж». Доказательство заняло более 500 страниц, в основном заполненных непривычной математикой. Другие математики нашли его несколько устрашающим. Даже в наши дни никто не горит желанием продираться через длинные технические доказательства, если только на то нет особых причин. Если бы Руффини сообщил, что нашел решение уравнения пятой степени, то его коллеги наверняка не поленились бы разобраться в его работе. Но можно понять их нежелание тратить сотни часов на то, чтобы вникнуть в отрицательный результат.

Особенно если учесть, что результат мог быть и неверным. Мало что раздражает так сильно, как нахождение ошибки на 499-й странице в 500-страничной книге по математике.

В 1801 году Руффини послал экземпляр Лагранжу, а по прошествии нескольких месяцев молчания — еще один экземпляр с припиской: «Если я допустил ошибку в каком-либо доказательстве, или если я утверждал что-то, что я считал новым, но оно в действительности таковым не является, или, наконец, если я написал бесполезную книгу, я умоляю вас откровенно высказаться по этому поводу». По-прежнему никакого ответа. Еще одна попытка в 1802 году. Ничего.

Несколько лет, прошедших без признания, Руффини воспринял как должное. Однако затем вместо ожидаемой славы стали распространяться неясные слухи, намекавшие, что в его «доказательстве» были ошибки. Поскольку же никто не объявил, в чем эти ошибки могли состоять, Руффини не имел шанса оправдаться. В конце концов он пришел к выводу — без сомнения, верному, — что доказательство было слишком сложным, и задался целью найти вариант попроще. Это ему удалось в 1803 году, когда он писал: «В настоящем мемуаре я попытаюсь доказать то же предложение, используя, как я надеюсь, менее трудную для понимания аргументацию, сохраняя при этом полную строгость». Новое доказательство было воспринято не лучше. Мир не был готов ни к прозрениям Руффини, ни к последующим доказательствам, опубликованным им в 1808 и 1813 годах. Однако он не оставлял усилий добиться от математического сообщества признания своей работы. Когда Жан Деламбр, предсказавший положение на небе планеты Уран, писал отчет о развитии математики за период начиная с 1789 года, он включил туда фразу «Руффини заявляет о доказательстве того, что решение уравнения пятой степени невозможно». Руффини незамедлительно ответил: «Я не только заявил о доказательстве, но и в самом деле это доказал».

Справедливости ради надо сказать, что небольшому числу математиков доказательство Руффини нравилось. Среди них был Коши, славившийся тем, что редко воздавал кому-либо по заслугам, если только эти заслуги не были его собственными. В 1821 году он писал Руффини: «Ваш мемуар по общему решению уравнений является работой, которая всегда представлялась мне заслуживающей внимания математиков и которая, по моему суждению, полностью доказывает невозможность решения алгебраических уравнений степени выше четвертой». Но похвала эта появилась уже слишком поздно.

Около 1800 года Руффини продолжал преподавать прикладную математику в городском военном училище. Он не оставлял и медицинской практики, причем среди его пациентов были люди от самых бедных до самых богатых. В 1814 году, после падения Наполеона, он стал ректором университета Модены. Политическая ситуация оставалась крайне сложной, и, несмотря на его высочайшую квалификацию и огромное уважение, которым он пользовался, а также репутацию безупречно честного человека, ему было весьма непросто оставаться на посту ректора.

В университете Модены Руффини одновременно заведовал кафедрами прикладной математики, практической медицины и клинической медицины. В 1817 году разразилась эпидемия тифа, и Руффини продолжал лечить своих пациентов, пока сам не заразился. Он выжил, но его здоровье было подорвано, и в 1819 году он оставил кафедру клинической медицины. Однако он никогда не прекращал научной работы и в 1820 году опубликовал статью о тифе, основанную на его собственном опыте и как врача, и как пациента. Он умер в 1822 году, всего около года спустя после того, как Коши письменно высоко отозвался о его работе по уравнениям пятой степени.

Одна из причин, по которой на работу Руффини смотрели несколько косо, могла состоять в ее новизне.

Как и Лагранж, он основывал свои исследования на концепции перестановки. Перестановка — это способ переупорядочить некоторый упорядоченный список. Самый расхожий пример перестановки — это перетасовка колоды карт. Цель в этом случае обычно состоит в достижении некоторого случайного, т.е. непредсказуемого, порядка. Число различных перестановок в колоде карт поистине огромно, так что вероятность предсказать появление того или иного порядка исчезающе мала.

В теории уравнений перестановки возникают потому, что корни данного многочлена можно рассматривать как список. Некоторые весьма фундаментальные свойства уравнений непосредственно связаны с эффектом перетасовки этого списка. Интуиция подсказывает, что уравнение «не знает», в каком порядке мы выписываем его корни, так что перестановка корней не должна приводить ни к каким серьезным различиям. В частности, коэффициенты уравнения должны быть полностью симметричными выражениями от корней — выражениями, которые не меняются, когда корни переставляют.

Однако, как ранее заметил и должным образом оценил Лагранж, определенные выражения от корней могут оказаться симметричными по отношению к некоторым, но не ко всем перестановкам. Эти «частично симметричные» выражения тесно связаны со всякой формулой для решения уравнения. Это свойство перестановок было известно коллегам Руффини. Гораздо менее известным было то, как систематически использовал Руффини другую идею Лагранжа — что можно «перемножить» две перестановки таким образом, что получится новая перестановка; для этого две данные перестановки надо выполнить одну за другой.

Рассмотрим три символа a, b и c. На них имеется шесть перестановок: abc, acb, bac, bca, cab и cba. Возьмем одну из них, скажем, cba. На первый взгляд это просто упорядоченный список из трех символов. Однако его можно также воспринимать как правило переупорядочения исходного списка abc. В данном случае правило выражается как «обращение порядка». И это правило можно применять не только к данному, но и вообще к любому списку. Применив его, скажем, к bca, получим acb. Так что можно придать смысл умножению cba×bca = acb.

Эту идею, занимающую центральное место в нашем рассказе, можно, наверное, выразить яснее, если нарисовать некоторые диаграммы. Приведем две диаграммы для перестановок, которые переупорядочивают abc в cba и в bca, как показано на рисунке.

Две перестановки символов a, b, c.

Можно скомбинировать два переупорядочения в одно, разместив эти картинки одну над другой. Существуют два способа это сделать, показанные на рисунке.

Умножение перестановок. Результат зависит от того, какая перестановка берется первой.

Теперь результат «умножения» двух перестановок виден просто из нижней строки, которая в данном случае (левый рисунок!) есть acb. Приняв это определение «умножения» (которое не совпадает с обычным правилом умножения чисел), можно придать смысл утверждению cba×bca = acb. Соглашение состоит в том, что первая перестановка в произведении располагается в нашей двухэтажной конструкции снизу. Это существенно, поскольку если поменять два этажа местами, то получится другой ответ. Правая картинка показывает, что, когда перестановки перемножаются в противоположном порядке, результат есть bca×cba = bac.

Суть доказательства невозможности, которое предложил Руффини, состояла в выработке условий, которым должно удовлетворять всякое уравнение пятой степени, корни которого можно выразить в радикалах. Если общее уравнение пятой степени не удовлетворяет этим условиям, то, значит, у него нет корней такого типа, и, следовательно, его нельзя решить никаким естественным обобщением методов, применимых к кубике и квартике.

Следуя Лагранжу, Руффини плотно занялся симметричными функциями корней и их связью с перестановками. Уравнение пятой степени имеет пять корней, а на пяти символах имеется 120 перестановок. Руффини осознал, что эта система перестановок должна обладать некоторыми структурными свойствами, наследуемыми из всякой гипотетической формулы для решений квинтики. Если эти свойства отсутствуют, то такой формулы быть не может. Это несколько напоминает выслеживание тигра в джунглях, растущих в густой грязи. Если тигр там действительно есть, он должен оставить ясные следы. Нет следов — нет тигра.

Подобных башен может быть много, в зависимости от выбираемых на каждом шаге формул и радикалов. Большинство обманывают наши ожидания и там не найти и намека на искомый корень. Но если миссия выполнима, если некоторая формула, построенная из последовательных радикалов, дает решение, то на чердаке в соответствующей башне действительно найдется корень. Ибо формула в точности говорит нам, как получить этот корень, последовательно добавляя радикалы. Другими словами, она сообщает нам, как именно построить башню.

В терминах таких башен можно интерпретировать классические решения уравнений третьей и четвертой степеней и даже вавилонское решение квадратных уравнений. Начнем с кубического уравнения, поскольку оно уже достаточно сложно, чтобы быть репрезентативным, но еще достаточно просто, чтобы оставаться наглядным.

В башне Кардано только три этажа.

Мешок на первом этаже содержит коэффициенты и все их комбинации.

Лестница, ведущая на второй этаж, требует извлечения квадратного корня. Весьма конкретного квадратного корня из вполне определенной формулы из первого мешка. Мешок на втором этаже содержит все комбинации этого квадратного корня и коэффициентов.

Лестница на третий этаж — на чердак — требует кубического корня, причем снова вполне конкретного. Это кубический корень из определенной формулы, включающей коэффициенты и тот квадратный корень, который уже использовался, чтобы подняться на один этаж. Содержит ли мешок на чердаке какой-либо корень нашего кубического уравнения? Да, и доказательство состоит в формуле Кардано. Подъем на башню увенчался успехом.

Башня Феррари выше — в ней пять этажей.

На первом этаже, как всегда, в мешке содержатся просто комбинации, составленные из коэффициентов. Подъем на второй этаж осуществляется с помощью образования безобидных комбинаций и последующего извлечения подходящего квадратного корня. На третий этаж ведут взятие безобидных комбинаций и, далее, извлечение подходящего кубического корня. На четвертый — составление безобидных комбинаций и, далее, извлечение подходящего квадратного корня.

Решение квадрики, кубики и квартики.

Наконец мы добираемся до пятого этажа — чердака, — составляя безобидные комбинации и беря затем подходящий квадратный корень.

И вот — мешок на чердаке действительно содержит то, что мы искали, — некий корень уравнения четвертой степени. Формула Феррари снабжает нас инструкциями по построению именно нужной башни.

Вавилонская башня, которая решает уравнение второй степени, также подходит под эту метафору. Но она оказывается укороченной башней всего с двумя этажами. Мешок на первом этаже содержит просто комбинации коэффициентов. Единственный, тщательно выбранный квадратный корень ведет на один этаж выше — уже на чердак. Внутри этого мешка имеется корень квадратного уравнения — в действительности оба его корня. Об этом нам говорит вавилонская процедура решения квадратных уравнений — формула, которой нас учили в школе.

А что же насчет уравнения пятой степени?

Предположим, что формула для решения квинтики в радикалах на самом деле существует. Мы не знаем, как она выглядит, но тем не менее можем многое о ней сказать. В частности, она должна соответствовать некоторой башне. Назовем эту гипотетическую башню башней Абеля.

Зададимся вопросом, как забраться вверх по башне; математика говорит нам, что имеется только один способ подняться на второй этаж. Надо взять один определенный квадратный корень, другого пути наверх нет.

Впрочем, не совсем так. Мы могли бы брать всевозможные другие корни и построить огромную, высоченную башню. Но чтобы на чердаке такой башни находился корень, необходимо, чтобы некоторый этаж соответствовал тому самому определенному квадратному корню, который я имею в виду. И ни один из предыдущих этажей не поможет нам добраться до чердака; строительство будет лишь пустой тратой времени и денег. Так что любой вменяемый строитель обязательно начнет именно с этого квадратного корня.

Что требуется, чтобы подняться по лестнице на третий этаж?

На третий этаж лестницы нет. Можно забраться на второй этаж, но там мы и застрянем. И если нельзя подняться на третий этаж нашей воображаемой башни, то заведомо нельзя добраться до чердака и найти там в мешке корень.

Почему уравнение пятой степени неразрешимо.

Одним словом, башни Абеля не существует. Все попытки прекращаются, когда мы упираемся в бетонный потолок на втором этаже; или, возможно, имеется некоторая более сложно организованная структура с множеством никому не нужных этажей, где мы в конце концов упираемся в бетон точно таким же образом и по той же самой причине. Это и доказал Руффини, если не считать одного технического пробела. Грубо говоря, он не сумел доказать, что если на чердаке живут безобидные комбинации радикалов, то и сами радикалы живут там же.

Доказательство Руффини и башня Абеля имеют выраженное сходство. Но, используя башни, Абель улучшил тактику Руффини и закрыл остававшуюся там дыру. Вместе они доказали, что нет никакой радикальной башни, позволяющей добраться от коэффициентов уравнения пятой степени к его корням. В переводе с архитектурного это значит, что нет формулы для корня уравнения пятой степени, сложность которой ограничивается радикалами. Решить уравнение пятой степени в радикалах невозможно, подобно тому как невозможно забраться на Луну, по очереди вставая друг другу на плечи.Кемп.