Математики нечасто бывают всем довольны.

Каждая успешно решенная задача только ставит новые вопросы. Вскоре после смерти Абеля данное им доказательство того, что некоторые уравнения пятой степени неразрешимы в радикалах, начало получать признание. Но работа Абеля была только началом. Хотя ни одна из предыдущих попыток решить все уравнения пятой степени не увенчалась успехом, некоторые особенно умные математики смогли доказать, что определенные уравнения пятой степени можно, тем не менее, решить в радикалах. Не только те, для которых решение очевидно, типа x⁵ − 2 = 0, откуда x = ⁵√2, но и довольно неожиданные, например, x⁵ + 15x + 12 = 0, — хотя его решение слишком сложно, чтобы здесь его приводить.

Создалась непонятная ситуация. Если некоторые уравнения пятой степени разрешимы, а другие нет, что тогда отличает уравнения одного типа от другого? Ответ на этот вопрос изменил развитие математики и математической физики. Несмотря на то что ответ был получен более 170 лет тому назад, он продолжает приводить к новым важным открытиям. В ретроспективе выглядит просто потрясающим, насколько далеко простираются следствия ответа на невинный вопрос о внутреннем устройстве математики. Решение уравнений пятой степени не имело, по-видимому, никаких практических применений. Если некоторая задача в инженерных науках или астрономии требовала для своего решения уравнения пятой степени, всегда находились численные методы найти ответ с любым желаемым числом знаков после запятой. Разрешимость — или неразрешимость — уравнения пятой степени в радикалах была классическим примером «чистой» математики, примером вопроса, задаваемого по причинам, которые интересовали математиков, и только их одних.

Как же сильно можно ошибаться…

Абель обнаружил препятствие к решению определенных уравнений пятой степени в радикалах. Он смог доказать, что это препятствие на самом деле не позволяет таким решениям существовать по крайней мере для некоторых уравнений пятой степени. Следующий шаг вперед — ось, вокруг которой крутится весь наш рассказ, — выпал на долю того, кто тщательно смотрел дареному коню в зубы и задавал вопросы, от которых математики не могут удержаться всякий раз, когда некоторая важная задача оказывается решена: «Да, все это очень здорово, но почему оно на самом деле работает?»

Такой подход может показаться несколько негативистским, но мы снова и снова убеждаемся в его ценности. Стоящая за этим философия заключается в том, что большинство математических задач слишком сложны для решения. Так что, когда кому-то удается решить нечто, что ставило в тупик всех предшественников, недостаточно просто отпраздновать великое решение. Или автору просто повезло (математики не слишком верят в везение такого типа), или же решение оказалось возможным по некоторым специальным причинам. И если удается понять причину… что ж, множество других задач могут оказаться разрешимыми с применением подобных же методов.

Невозможно точно сказать, что было в этом документе, но в общих чертах о его содержании можно судить из сохранившихся заметок самого Галуа. Ясно, что история могла бы оказаться совсем другой, если бы далекоидущие следствия из этой работы были оценены в полной мере. Вместо этого рукопись просто исчезла.

Из этого ключевого усмотрения вырастает естественная стратегия атаки. Узнаем, какие подгруппы возникают в каких обстоятельствах. В частности, если уравнение можно решить в радикалах, то группа Галуа этого уравнения должна отражать этот факт в своей внутренней структуре. Далее, задавшись любым уравнением, находим его группу Галуа и проверяем, действительно ли она обладает требуемой структурой. Таким образом мы получаем ответ на вопрос о разрешимости в радикалах.

А далее Галуа переформулировал всю задачу с совершенно иной точки зрения. Вместо построения башни с лестницами он вырастил некое дерево.

Не то чтобы он сам называл свой метод «деревом» — так же как не упоминал Абель о «башне» Кардано, однако идею Галуа можно, тем не менее, изобразить как процесс, который снова и снова ответвляется от центрального ствола. Ствол — это группа Галуа данного уравнения. Ветви, веточки и листья — различные подгруппы.

Подгруппы возникают естественным образом, как только мы задумаемся о том, как изменяются симметрии уравнений, когда мы начинаем брать радикалы. Как изменяется группа? Галуа показал, что если извлекается корень p-й степени, то группа симметрии должна разбиться на p различных блоков одинакового размера. (Здесь, как заметил Абель, всегда можно предполагать, что число p простое.) Так, например, некая группа из 15 перестановок может разбиться на 5 групп из 3 элементов каждая или на три группы из 5 каждая. Существенно важно, что блоки должны удовлетворять некоторым очень строгим условиям; в частности, один из них должен сам по себе образовывать подгруппу некоторого специального вида, известного под именем «нормальной подгруппы индекса p». Можно представлять себе, что ствол дерева разбился на p меньших веток, одна из которых соответствует нормальной подгруппе.

Нормальные подгруппы в группе всех шести перестановок на трех символах таковы: вся группа [I, U, V, P, Q, R], подгруппа [I, U, V] (таблицы умножения которых мы только что видели) и подгруппа из одной-единственной перестановки, т.е. [I]. Три другие подгруппы, содержащие каждая по две перестановки, не являются нормальными.

Пусть, например, мы желаем решить общее уравнение пятой степени. Имеется пять корней, так что наши перестановки будут перестановками на пяти символах. Таких перестановок ровно 120. Коэффициенты уравнения, будучи полностью симметричными, обладают группой, состоящей из всех 120 перестановок. Эту группу мы будем представлять себе как ствол дерева. Каждый отдельный корень обладает группой, которая содержит лишь одну перестановку — тривиальную. Так что у дерева 120 листьев. Наша цель состоит в том, чтобы соединить ствол с листьями, добавляя ветви и веточки, структура которых отражала бы свойства симметрии различных величин, возникающих, если начать возиться с формулой для корней, которые, по нашему предположению, выражаются в радикалах.

Пусть для удобства рассуждений первый шаг в формуле состоит в извлечении корня пятой степени. Тогда группа из 120 перестановок должна разбиться на 5 кусков, в каждом из которых содержится по 24 перестановки. Так что у дерева вырастут пять ветвей. Технически это ветвление должно соответствовать нормальной подгруппе индекса 5.

Однако Галуа смог доказать — просто изучая перестановки, — что такой нормальной подгруппы не существует.

Ладно, может быть, следует начать, скажем, с корня седьмой степени. Тогда 120 перестановок должны разбиться на семь блоков одного и того же размера — что невозможно, поскольку 120 не делится на 7. Значит, корня седьмой степени нет. На самом деле нет никаких корней простой степени, за исключением 2, 3 и 5, потому что именно таковы простые делители числа 120. А мы как раз исключили 5.

Что же тогда, начнем с кубического корня? К сожалению, не получится: группа из 120 перестановок не имеет нормальной подгруппы индекса 3.

Все, что осталось, — квадратный корень. Имеется ли в группе из 120 перестановок нормальная подгруппа индекса 2? Имеется, причем ровно одна. Она содержит 60 перестановок и называется знакопеременной группой. Так что, используя теорию групп Галуа, мы установили, что любая формула для решения общего уравнения пятой степени должна начинаться с квадратного корня, что приводит к знакопеременной группе. При первом ветвлении ствола появляются всего две ветви.

Но всего имеется 120 листьев, так что дерево должно и дальше как-то ветвиться. Как оно это делает? Простые делители числа 60 — это те же 2, 3 и 5. Так что каждая новая ветвь должна делиться на две, три или пять веточек. Другими словами, нам надо добавить или еще один квадратный корень, или кубический корень, или корень пятой степени. Более того, это можно сделать, если, и только если, знакопеременная группа содержит нормальную подгруппу индекса 2, 3 или 5.

Но содержит ли она такую нормальную подгруппу? Вопрос этот — целиком вопрос о перестановках на пяти символах. Исследуя такие перестановки, Галуа смог доказать, что в знакопеременной группе вообще нет нормальных подгрупп (за исключением всей группы и тривиальной подгруппы [I]). Это «простая» группа, одна из тех основных компонент, из которых можно построить все группы.

Не нашлось достаточного количества нормальных подгрупп, чтобы соединить ствол со всеми листьями при помощи ветвлений на простое число веток на каждом шаге. Так что процесс решения уравнения пятой степени в радикалах натыкается на внезапную остановку после того первого шага, заключающегося в добавлении квадратного корня. Идти больше некуда. Нет дерева, по которому можно было бы добраться от ствола до листьев, а потому нет формулы для корней в терминах радикалов.

Доказательство Галуа неразрешимости уравнения пятой степени.

Та же идея работает для уравнений степени 6, 7, 8, 9 — любой степени, старшей 5. Теперь неизбежно возникает вопрос, а почему же уравнения второй, третьей и четвертой степени, тем не менее, разрешимы? Чем выделены степени 2, 3 и 4? В действительности теория групп точно говорит нам, как решить уравнения второй, третьей и четвертой степени. Я оставлю в стороне технические подробности, а вместо этого просто покажу как выглядят деревья. Они в точности соответствуют классическим формулам.

Использование групп для решения уравнений второй, третьей и четвертой степеней.

Теперь мы начинаем видеть красоту идеи Галуа. Из нее следует не только доказательство неразрешимости общего уравнения пятой степени в радикалах, но и объяснение, почему общие уравнения второй, третьей и четвертой степени все же имеют решения в радикалах; более того, примерно видно то, и как эти решения устроены. Если поработать еще немного, можно извлечь и точный вид этих решений. Наконец, подход Галуа позволяет отличить те уравнения пятой степени, которые нельзя решить, от тех, которые можно, и говорит нам, как решить эти последние.

Группа Галуа всякого уравнения сообщает нам все, что мы можем пожелать узнать о его решениях. Так почему же Пуассон, Коши, Лакруа и все остальные специалисты не запрыгали от радости, увидев, что же сделал Галуа?

Группа Галуа хранит ужасную тайну.

Тайна эта такого рода. Самый простой способ получить группу какого-либо уравнения состоит в использовании свойств его корней. Но, разумеется, все дело как раз в том, что мы, как правило, не знаем, каковы эти корни. Не будем забывать, что цель состоит в решении уравнения, то есть в нахождении его корней.

Предположим, что кто-то подарит нам конкретное уравнение пятой степени, скажем

или

и попросит использовать методы Галуа, чтобы определить, можно ли решить его в радикалах. Вполне законный вопрос.

Страшная правда состоит в том, что с использованием методов, доступных Галуа, нет никакого способа на него ответить. Можно утверждать, что скорее всего соответствующая группа содержит все 120 перестановок — и если это так, то тогда решить уравнение нельзя. Но мы не знаем наверняка, действительно ли появляются все 120 перестановок. Быть может, пять корней удовлетворяют некоторому специальному условию. Откуда нам знать?

Сколь бы красивой ни была теория Галуа, ей присущи жесткие ограничения. Она имеет дело не с коэффициентами, а с корнями. Другими словами — не с тем, что известно, а с тем, что неизвестно.

Сегодня можно зайти на подходящий математический веб-сайт, ввести туда свое уравнение, и сайт вычислит для вас его группу Галуа. Сегодня известно, что первое из приведенных выше уравнений не разрешимо в радикалах, а второе разрешимо. Я хочу подчеркнуть здесь не то, что мы используем компьютер, а тот факт, что кто-то выяснил, какие шаги надо предпринять для решения задачи. Главнейшее после Галуа продвижение в этой области состояло в разработке способов вычисления группы Галуа любого заданного уравнения.

У самого Галуа таких методов не было. Предстояло пройти целому столетию, чтобы рутинные вычисления групп Галуа стали возможны. Отсутствие же таких методов частично оправдывает реакцию Коши и Пуассона. Они могли сетовать, причем с полным основанием, что идеи Галуа не позволяли решить проблему о разрешимости в радикалах любого данного уравнения.

Чего они не смогли увидеть, так это того факта, что метод Галуа на самом деле решал чуть другую задачу: определить, какие свойства корней делают уравнение разрешимым. Эта задача получила изящный и глубокий ответ. Что же касается задачи, решение которой они хотели бы получить от Галуа… ну, в ней нет причин ожидать четкого ответа. Просто не существует ясного способа классифицировать разрешимые уравнения в терминах легковычисляемых свойств их коэффициентов.

До сих пор интерпретация групп как симметрий несколько отдавала метафорой. Теперь нам надо сделать ее более буквальной, и этот шаг потребует более геометрической точки зрения. Последователи Галуа быстро осознали, что соотношение между группой и симметрией намного легче понять в геометрическом контексте. На самом деле именно так этот предмет обычно и объясняют в учебных курсах.

Чтобы получить некоторое представление об этом соотношении, кратко осмотрим мою любимую группу — группу симметрий равностороннего треугольника. И зададимся наконец самым фундаментальным вопросом: что же, строго говоря, есть симметрия?

До Галуа все ответы на этот вопрос были довольно расплывчаты и включали в себя размахивание руками и апелляцию к таким свойствам, как изящество пропорции. С концепциями такого типа настоящей математики не построишь. После Галуа спустя недолгий период времени, на протяжении которого математический мир разбирался с общими идеями, стоящими за их очень конкретным применением, — возник простой и двусмысленный ответ. Во-первых, слово «симметрия» надо понимать как «некая симметрия», «одна из симметрий». Объекты не обладают одной-единственной симметрией; они часто имеют много различных симметрий.

Но что же тогда такое эти симметрии? Симметрия некоторого математического объекта — это преобразование, которое сохраняет структуру объекта. Через секунду я разверну это определение в нечто большее, но прежде всего надо заметить, что симметрия представляет собой скорее процесс, нежели объект. Симметрии Галуа являются перестановками (корней уравнения), а перестановка — это некий способ переупорядочить вещи. Строго говоря, это не само переупорядочивание, а правило, которое надо применить, чтобы добиться этого переупорядочения. Не блюдо, а рецепт.

Подобное различие может показаться мелочным занудством, но именно оно лежит в основе всего предприятия.

В определении симметрии имеются три ключевых слова: «преобразование», «структура» и «сохраняет». Позвольте объяснить их, используя пример равностороннего треугольника. У такого треугольника по определению все три стороны имеют одинаковую длину, а все три угла — одну и ту же величину, а именно 60°. Из-за этих свойств трудно отличить одну сторону от другой; фразы типа «самая длинная сторона» здесь ничего не значат. Углы также неразличимы. Как мы сейчас увидим, невозможность отличить одну сторону от другой или один угол от другого является следствием симметрий равностороннего треугольника. В действительности этим его симметрии и определяются.

Рассмотрим эти три слова по очереди.

Преобразование. Нам разрешается кое-что делать с нашим треугольником. В принципе имеется масса вещей, которые с ним можно проделать: согнуть его, повернуть на некоторые угол, смять его, растянуть, как если бы он был сделан из резины, покрасить в розовый цвет. Наш выбор, однако, более узок и ограничен вторым из наших слов.

Структура. Структура нашего треугольника состоит из математических свойств, которые полагаются существенными. Структура треугольника включает такие вещи, как «у него три стороны», «стороны — прямые линии», «одна сторона имеет длину 7,32 дюйма», «он располагается на плоскости вот в этом месте» и так далее. (В других областях математики существенные свойства могут оказаться другими. В топологии, например, существенно только то, что треугольник образует один замкнутый путь, а наличие трех углов и прямолинейность сторон не имеют значения.)

Сохраняет. Структура преобразованного объекта должна соответствовать структуре исходного. Преобразованный треугольник должен также иметь три стороны — так что сминание его исключается. Стороны должны оставаться прямыми, так что складывать нельзя. Одна сторона должна по-прежнему иметь длину 7,32 дюйма, так что растягивать треугольник тоже запрещено. Положение должно быть тем же самым, так что сдвиг на десять футов в сторону не дозволяется.

Цвет явным образом не упоминается в качестве структуры, так что окрашивание треугольника не имеет значения. Не то чтобы оно было под запретом — просто оно не составляет различия для геометрических целей.

Поворот треугольника на некоторый угол, однако, действительно сохраняет по крайней мере кое-что из структуры. Если вырезать равносторонний треугольник из картона, положить его на стол, а затем поворачивать, то он по-прежнему будет выглядеть как треугольник. У него будут три стороны, причем прямые, а их длины не изменятся. Однако положение треугольника на плоскости может оказаться иным, в зависимости от угла, на который его повернули.

Если я поверну треугольник, например, на прямой угол, то результат будет отличаться от первоначального. Стороны будут смотреть в других направлениях. Если вы закроете глаза, пока я буду его поворачивать, то, открыв их, сможете определить, что треугольник был повернут.

Поворот на прямой угол не является симметрией равностороннего треугольника.

Но если я поверну треугольник на 120°, вы не заметите никакой разницы между «было» и «стало». Чтобы показать, что я имею в виду, я тайно помечу углы кружками различного типа, так что мы сможем следить за тем, что куда отправляется. Эти кружки — только для нашей ориентации, они не составляют часть структуры, которая должна быть сохранена. Если вы закрываете глаза на кружки, если наш треугольник настолько лишен свойств, насколько это полагается всякому добропорядочному эвклидову объекту, то повернутый треугольник выглядит в точности как исходный.

Поворот на 120° является симметрией равностороннего треугольника.

Другими словами, поворот на 120° есть симметрия равностороннего треугольника. Преобразование (поворот) сохраняет структуру (форму и расположение).

Оказывается, что у равностороннего треугольника имеется ровно шесть различных симметрий. Вторая — это поворот на 240°. Еще три — отражения, под действием которых один из углов треугольника остается на месте, а два других меняются местами. А в чем состоит шестая симметрия? В неделании ничего: оставьте треугольник в покое. Это тривиально, однако же удовлетворяет условиям, требуемым от симметрии. На самом деле это преобразование удовлетворяет определению симметрии вне зависимости от того, какой объект рассматривается и какое свойство должно сохраняться. Если ничего не делать, то ничего и не меняется.

Эта тривиальная симметрия называется тождественной. Она может показаться не очень важной, но если от нее отказаться, то вся математика пойдет вкривь и вкось. Происходящее будет похоже на выполнение сложения чисел в отсутствие нуля или умножения в отсутствие единицы. Если же мы включаем тождественное преобразование, то все хорошо.

Шесть симметрий равностороннего треугольника.

Для равностороннего треугольника можно представлять себе единичный элемент как вращение на 0°. На рисунке изображены результаты применения шести симметрий к нашему равностороннему треугольнику. Это в точности шесть различных способов, которыми вырезанный из картона и вынутый из плоскости треугольник можно наложить на его исходное положение. Пунктирные линии показывают, где надо расположить зеркало, чтобы получить требуемое отражение.

Теперь я собираюсь убедить вас в том, что симметрии — это часть алгебры. Для этого я сделаю то же, что сделал бы любой алгебраист: выражу все в символах. Обозначим шесть симметрий буквами I, U, V, P, Q, R согласно приведенному выше рисунку. Единичный элемент — это I; два другие вращения суть U и V, а три отражения — P, Q и R. Те же самые символы я использовал выше для перестановок корней кубического уравнения. Для этого есть причина, которая, более того, скоро станет явной.

Галуа по максимуму использовал «групповое свойство» своих перестановок. Если применить любые две из них по очереди, то получится какая-то другая. Отсюда следует мощный намек на то, что нам следует делать с нашими шестью симметриями. Мы попарно «перемножим» их и посмотрим, что получится. Напомним соглашение: если X и Y — два преобразования симметрии, то произведение XY — это то, что получается, когда сначала применяется Y, а потом X.

Пусть, например, мы желаем узнать, что такое VU. Это означает, что сначала к треугольнику применяется U, а потом V. И вот U осуществляет вращение на 120°, а V затем вращает получающийся треугольник на 240°. Тем самым VU осуществляет вращение на 120° + 240° = 360°.

Ой, мы забыли включить это вращение.

Нет, не забыли! Если повернуть треугольник на 360°, то все вернется в точности туда, где было. А в теории групп важен конечный результат, а не путь, которым к нему пришли. На языке симметрий две симметрии считаются одинаковыми, если они приводят к одному и тому же конечному состоянию объекта. Поскольку VU дает тот же эффект, что тождественное преобразование, мы заключаем, что VU = I.

В качестве второго примера рассмотрим, что делает UQ. Преобразования выполняются следующим образом:

Как симметрии равностороннего треугольника соответствуют перестановкам.

Мы видим, чему равен результат перемножения симметрий: он равен P. Значит, UQ = P.

Из наших шести симметрий можно можно образовать тридцать шесть произведений, а вычисления можно свести в таблицу умножения.

Обнаруженное совпадение дает пример одного из наиболее мощных методов во всей теории групп. Его истоки — в работах французского математика Камиля Жордана, до известной степени превратившего теорию групп из метода анализа решений уравнений в радикалах в самостоятельный предмет.

Около 1870 года Жордан привлек внимание к тому, что сейчас называют теорией представлений. Для Галуа группы были составлены из перестановок — способов перетасовки символов. Жордан начал задумываться о способах перетасовки более сложных пространств. Среди наиболее фундаментальных пространств в математике имеются многомерные пространства, а их самое важное свойство состоит в существовании прямых линий. Естественный способ преобразования такого пространства состоит в том, чтобы прямые линии оставались прямыми. Никаких изгибов, никаких скручиваний. Имеется много преобразований такого рода — вращения, отражения, изменения масштаба. Все они называются линейными преобразованиями.

Английский юрист и математик Артур Кэли открыл, что любое линейное преобразование можно связать с матрицей — квадратной таблицей из чисел. Любое линейное преобразование трехмерного, например, пространства можно задать, записав таблицу размером 3 на 3 из вещественных чисел. Так что преобразования можно свести к алгебраическим вычислениям.

Теория представлений позволяет начать с группы, которая не состоит из линейных преобразований, и заменить ее некоторой группой, состоящей из линейных преобразований. Преимущество конвертации группы в группу матриц состоит в том, что матричная алгебра является очень глубокой и мощной, и Жордан был первым, кто это увидел.

Взглянем на симметрии треугольника с Жордановой точки зрения. Вместо размещения разных кружков по углам треугольника я расставлю там символы a, b, c, соответствующие корням общего кубического уравнения. Тогда становится очевидным, что каждая симметрия треугольника также переставляет эти символы. Например, вращение U отправляет abc в cab.

Шесть симметрий треугольника естественно соответствуют шести перестановкам корней a, b, c. Более того, произведение двух симметрий соответствует произведению соответствующих перестановок. Но вращения и отражения в плоскости являются линейными преобразованиями — они сохраняют прямые линии. Так что мы по-другому интерпретировали группу перестановок — представили ее — как группу линейных преобразований, или, что то же самое, как некую группу матриц. Этой идее предстояло привести к глубоким следствиям как в математике так и в физике.