Через земли, занимаемые сегодня Ираком, протекают две самые знаменитые в мире реки. Им обязаны своим существованием возникшие там замечательные цивилизации. Они берут исток в горах восточной Турции, пересекают сотни миль плодородных равнин и сливаются в единый поток, устье которого выходит в Персидский залив. С юго-запада эта область ограничена сухими пустынными землями Аравийского плато, а с северо-востока — негостеприимными грядами Анти-Тауруса и Загроса. Эти две реки — Тигр и Евфрат, протекающие сегодня практически тем же курсом, что и четыре тысячи лет назад, когда они пересекали древние земли Ассирии, Аккада и Шумера.

Археологам область между Тигром и Евфратом известна как Месопотамия, что по-гречески означает «междуречье». Про нее часто — и с полным правом — говорят как про колыбель цивилизации. Реки приносили воду на равнины, которые из-за этого становились плодородными. Обильная растительность привлекала стада овец и оленей, которые в свою очередь привлекали хищников, а среди них — первобытных охотников. Равнины Месопотамии были садами Эдема для охотников и собирателей, магнитом для кочевых племен.

Они в действительности оказались настолько плодородны, что образ жизни охотников и собирателей в конце концов уступил место гораздо более эффективной стратегии добывания пищи. Около 9000 года до Р.Х. холмы немного к северу от Плодородного Полумесяца стали свидетелями рождения революционной технологии — сельскохозяйственного производства. Почти немедленно за этим последовали два фундаментальных изменения в развитии человеческого общества: необходимость оставаться на одном и том же месте, чтобы ухаживать за посевами, и возможность прокормить значительное население. Сочетание этих факторов привело к созданию городов, и в Месопотамии археологи все еще находят останки некоторых древнейших в мире великих городов-государств: Ниневии, Нимруда, Ниппура, Урука, Лагаша, Эриду, Ура, а также превосходящего их всех Вавилона — города Висячих Садов и Вавилонской башни. Четыре тысячелетия назад сельскохозяйственная революция в этой части света с неизбежностью привела к возникновению организованного общества со всем набором сопутствующих ловушек — таких как правительство, бюрократия и армия. Между 2000 и 500 годами до Р.Х. на берегах Евфрата процветала цивилизация, которую нестрого именуют «вавилонской». Она берет свое название от главного города, но в широком смысле «вавилонская» культура включает также шумерскую и аккадскую. В действительности первое известное упоминание о Вавилоне найдено на глиняной табличке Саргона Аккадского, датируемой приблизительно 2250 годом до Р.Х., хотя корни вавилонян, весьма вероятно, восходят ко времени еще на две или три тысячи лет более раннему.

Нам очень мало известно об истоках «цивилизации» — слово это буквально означает организацию людей в устойчивые сообщества. Тем не менее похоже, что многими аспектами нашего сегодняшнего мира мы обязаны древним вавилонянам. В частности, они были специалистами в области астрономии, и есть свидетельства того, что именно к ним восходят двенадцать зодиакальных созвездий и деление окружности на 360 градусов, равно как и часа на шестьдесят минут, а минуты — на шестьдесят секунд. Подобные единицы измерения требовались вавилонянам для занятий астрономией, так что они поневоле стали специалистами и в освященной веками служанке астрономии — математике.

Подобно нам, они изучали математику в школе.

«Что у нас сегодня?» — спросил Набу, положив узелок с завтраком рядом со своим местом. Его мать всегда следила, чтобы на завтрак у него было достаточно хлеба и мяса (как правило, козлятины). Иногда для разнообразия она добавляла еще и сыр.

«Математика, — мрачно отозвался его друг Гамеш. — Жаль, что не право, — мне больше нравится право».

Набу, хорошо успевавший по математике, никогда не мог понять, почему его соученики считали этот предмет таким сложным: «Послушай, Гамеш, разве тебе не скучно переписывать и зазубривать все эти набившие оскомину юридические формулы?»

Гамеш, сильными сторонами которого были упорство и хорошая память, засмеялся: «Нет, это легко. Там не надо думать».

«Именно поэтому мне и скучно, — сказал его друг. — А вот математика — это…»

«Это ужас, — вступил в разговор Хумбаба, только что пришедший в Дом Табличек, как всегда, с опозданием. — Я хочу сказать, Набу, что мне с этим делать?» Он указал на свою глиняную табличку с домашним заданием: «Умножаем число само на себя и прибавляем это число, удвоенное. Получаем 24. Каково число?»

«Четыре», — ответил Набу. «Правда?» — спросил Гамеш. А Хумбаба сказал: «Сам знаю. Но как это получить?»

Набу скрупулезно растолковал приятелю процедуру, которую их учитель математики объяснял им на прошлой неделе: «Прибавь половину от 2 к 24, получишь 25. Извлеки квадратный корень, который равен 5…»

Сбитый столку Гамеш замахал руками: «Я никак не могу разобраться, что за штука эти квадратные корни, Набу».

«А! — сказал Набу. — Теперь понятно!» Оба его приятеля глядели на него как на сумасшедшего. «Твоя проблема не в решении уравнений, Гамеш. А в квадратных корнях!»

«И в том и в другом», — пробормотал Гамеш.

«Но сначала идут квадратные корни. Надо учить предмет шаг за шагом, как все время нам повторяет Отец-учитель в Доме Табличек».

«А еще он повторяет, чтобы мы не пачкали одежду, — запротестовал Хумбаба, — но мы же не обращаем на это внимания…»

«Это другое дело. Это…»

«Без толку! — завопил Гамеш. — Я никогда не стану писцом, и отец задаст мне такую трепку, что я не смогу сидеть, а мать будет, как всегда, жалобно смотреть на меня и говорить, чтобы я больше трудился и думал о семье. Но мне математика в голову не лезет! Вот законы я могу запомнить. Это весело! Смотри: „Если жена господина убьет своего мужа из-за другого мужчины, ее следует прямо на месте посадить на кол". Вот это по мне. А всякие глупости типа квадратных корней — нет! — он остановился, чтобы глотнуть воздуха, и замахал руками, не в силах сдержать себя. — Уравнения, числа — нам-то что за дело?»

«От них есть польза, — возразил Хумбаба. — Помнишь все эти штуки про закон насчет отрезания ушей рабам?»

«Да, — сказал Гамеш, — наказание за нападение».

«Если выбьешь простолюдину глаз, — подсказал Хумбаба, — то ты должен заплатить ему…»

«Одну серебряную мину», — сказал Гамеш.

«А если сломаешь рабу кость?»

«Заплатишь его хозяину компенсацию в половину цены раба».

Хумбаба захлопнул ловушку: «Вот, а если раб стоит шестьдесят шекелей, то тебе надо знать, сколько будет половина от шестидесяти. Если хочешь стать законником, тебе нужна математика!»

«Ответ — тридцать», — немедленно выпалил Гамеш.

«Видишь! — закричал Набу. — Ты соображаешь в математике!»

«Ясное дело, для такого математика вовсе не требуется, — будущий юрист ударил ладонью по воздуху, пытаясь выразить глубину своих чувств. — Если дело касается реального мира, Набу, то да, я соображаю в математике. Но не тогда, когда речь идет о выдуманных задачках про квадратные корни».

«Квадратные корни нужны, чтобы измерять землю», — вставил Хумбаба.

«Да, но я учусь не для того, чтобы быть сборщиком налогов: мой отец хочет, чтобы я стал писцом, как и он сам, — заметил Гамеш. — Так что не понимаю, зачем мне учить всю эту математику».

«Затем, что она полезна», — повторил Хумбаба.

«Не думаю, что дело только в этом, — тихо сказал Набу. — По-моему, вся суть в истине и красоте — в том, чтобы получить ответ и знать, что он правильный». Но выражение лиц его друзей подсказывало, что убедить их не удалось.

«Для меня — это получить ответ и знать, что он неправильный», — вздохнул Гамеш.

«Математика важна, потому что это истина и красота, — настаивал Набу. — Квадратные корни — это основа для решения уравнений. Они, может быть, и не всюду используются, но это неважно. Они важны сами по себе».

Гамеш собрался уже добавить что-то малоуместное, но тут заметил, как в класс входит учитель. Пришлось скрыть свои слова притворным приступом кашля.

«Доброе утро, мальчики», — приветливо сказал учитель.

«Доброе утро, учитель».

«Покажите мне ваше домашнее задание».

Гамеш вздохнул. Хумбаба выглядел озабоченным. На лице Набу ничего не читалось. Так было лучше.

Возможно, самое удивительное в подслушанном разговоре — если забыть, что это чистейшей воды вымысел — состоит в том, что он происходил около 1100 года до Р.Х. в легендарном Вавилоне.

То есть, я хотел сказать, мог происходить. У нас нет исторических свидетельств о трех мальчиках по именам Набу, Гамеш и Хумбаба, не говоря уж о записи их разговора. Но человеческая природа тысячелетиями не менялась, так что фактологическая подоплека моей истории о трех школьниках прочна как скала.

Нам на удивление много известно о культуре жителей Вавилона из-за того, что свои записи они делали на влажной глине своеобразным клинообразным шрифтом — так называемой клинописью. Когда глина затвердевала под вавилонским солнцем, эти надписи становились практически неуничтожимыми. А если в здании, где хранились глиняные таблички, случался пожар, что, конечно, бывало, то жар превращал глину в керамику, которая могла сохраняться еще дольше.

И наконец, одеяло из песка пустыни помогало сохранять записи сколь угодно долго. Таким образом Вавилон и стал тем местом, с которого начинается письменная история. Там же берет свое начало и история понимания человечеством симметрии — и ее воплощения в систематическую и количественную теорию, «исчисление» симметрии, ни в чем не уступающее по своей мощи дифференциальному и интегральному исчислению, созданному Исааком Ньютоном и Готфридом Вильгельмом Лейбницем. Без сомнения, его истоки можно было бы проследить еще дальше вглубь веков, если бы у нас нашлась машина времени или хотя бы еще немного больше древних глиняных табличек. Но, как нам сообщает письменная история, именно вавилонские математики направили человечество на путь познания симметрии, что в свою очередь радикально повлияло на наше восприятие физического мира.

Математика основывается на числах, но не ограничивается ими. Вавилоняне использовали эффективные обозначения, которые в отличие от нашей десятичной системы (основанной на степенях числа десять), были шестидесятиричными (основанными на степенях числа шестьдесят). Вавилоняне были осведомлены о прямоугольных треугольниках и знали нечто вроде того, что мы сейчас называем теоремой Пифагора, — хотя в отличие от их греческих последователей математики Вавилона, по-видимому, не заботились о подкреплении своих эмпирических открытий логическими доказательствами. Они использовали математику для высших целей — для астрономии, для сельскохозяйственных и религиозных нужд, а также для вполне прозаических задач торговли и сбора налогов. Такая двойственная роль математического знания — выявление порядка в окружающем мире и содействие делам человеческим — неразрывной золотой нитью проходит через всю историю математики.

Самое важное из достижений вавилонских математиков — это начало понимания того, как решать уравнения.

Уравнения — это способ, которым математики находят значение некоторой неизвестной величины, исходя из косвенных данных. «Вот список известных фактов о неизвестном числе; найдите это число». Уравнение, тем самым, есть нечто вроде головоломки, в фокусе которой — число. Нам не говорят, что это за число, а сообщают про него какие-то полезные сведения. Наша задача в том, чтобы решить головоломку, то есть найти неизвестное число. Подобное занятие может показаться несколько отдаленным от геометрической концепции симметрии, но в математике идеи, открытые в одном контексте, как правило, проливают свет и на целый ряд других контекстов. Именно наличие внутренних взаимосвязей придает математике такую интеллектуальную мощь. И именно поэтому числовая система, изобретенная для обслуживания торговых сделок, смогла заодно сообщить древним нечто полезное о движении планет и даже о так называемых неподвижных звездах.

Головоломка может оказаться легкой. «Удвоенное число равно шестидесяти; каково искомое число?» Не надо быть гением, чтобы понять, что неизвестное равно тридцати. Или немного посложнее: «Я умножил некое число на себя и прибавил 25; в результате получилось удесятеренное мое число. Каково оно?» Пробы и ошибки могут привести вас к ответу 5, но пробы и ошибки — это неэффективный метод решения головоломок или уравнений. Что, если в условии заменить 25, скажем, на 23? Или на 26? Вавилонские математики смотрели на метод проб и ошибок свысока, ибо владели секретом намного более глубоким и мощным. Им было известно правило — некоторая стандартная процедура — для решения таких уравнений. Судя по всему, они были первыми людьми, осознавшими, что такие методы существуют.

Связанная с Вавилоном таинственность отчасти проистекает из многочисленных ссылок на него, имеющихся в Библии. Всем известен рассказ о Данииле и пещере льва, место действия которого — Вавилон в правление царя Навуходоносора. Но в последующие времена Вавилон стал почти мифом — городом, давно исчезнувшим с лица земли, разрушенным без всякой надежды на восстановление, а может быть, городом, которого и вовсе никогда не было. Так, во всяком случае, казалось еще около двухсот лет назад.

На протяжении тысячелетий равнины нынешнего Ирака были усеяны странными курганами. Рыцари, возвращавшиеся из Крестовых походов, привозили с собой сувениры, которые они находили в руинах, — кирпичи, украшенные странными знаками, фрагменты не подлежащих расшифровке надписей. Курганы, без сомнения, были останками древних городов, но, кроме этого, почти ничего известно не было.

В 1811 году Клавдий Рич предпринял первое научное исследование древних курганов в Ираке. Он обследовал значительный участок в шестидесяти милях к югу от Багдада по берегу Евфрата и вскоре пришел к выводу, что именно там должны находиться останки древнего Вавилона. Он нанял рабочих для раскопок руин. Среди найденного были кирпичи, клинописные глиняные таблички, прекрасно сохранившиеся цилиндрические печати, позволявшие при прокатывании по мокрой глине создавать оттиски слов и изображений, а также предметы искусства, настолько величественные, что их автор, кем бы он ни был, по праву занял бы место в одном ряду с Леонардо да Винчи и Микеланджело.

Но еще более интересными оказались разбитые клинописные таблички, которыми были завалены места раскопок. Нам очень повезло, что те первые археологи оценили их потенциальную значимость и бережно их сохранили. Как только надписи удалось расшифровать, эти таблички превратились в кладезь информации о жизни и делах вавилонян.

Клинописные таблички и другие находки сообщают нам, что история древней Месопотамии была долгой и сложной, она охватывала много различных культур и государств. По отношению к ним ко всем привычно используется термин «вавилонский» — тот же, который применяется в отношении конкретной культуры, концентрировавшейся вокруг города Вавилон. Однако ядро месопотамской культуры постоянно смещалось, причем сам Вавилон временами возвышался, а временами приходил в упадок. Археологи разбивают вавилонскую историю на два основных периода. Старовавилонский период длился примерно от 2000 до 1600 года до Р.Х., а Нововавилонский период — с 625 по 539 год до Р.X. Интервал между ними занимают Древнеассирийский, Касситский, Среднеассирийский и Новоассирийский периоды — времена пришлых правителей в Вавилоне. Затем вавилонская математика продолжала развиваться в Сирии в продолжение периода, известного как эпоха Селевкидов, еще примерно в течение пяти веков или более^[2].

Культура сама по себе оказалась намного более устойчивой, чем общества, бывшие ее носителями: она оставалась по большей части неизменной на протяжении примерно 1200 лет, хотя иногда ее на время прерывали периоды политических неурядиц. Так что отдельные аспекты вавилонской культуры, не сводящиеся к конкретным историческим событиям, вероятно, возникли задолго до самого раннего из известных нам письменных свидетельств. В частности, имеются указания, что некоторые математические методы, первые дошедшие до нас записи о которых датируются примерно 600 годом до Р.Х., в действительности существовали в намного более раннюю эпоху. По этой причине главное действующее лицо в данной главе — вымышленный писец, которому я дал имя Набу-Шамаш и с которым мы уже встречались в начальной школе, в краткой виньетке о трех школьных друзьях, — неизбежно должно было жить где-то около 1100 года до Р.Х.; родился он, таким образом, в царствование Навуходоносора I.

Все другие персонажи, которые нам встретятся по мере развития нашего рассказа, — реальные исторические фигуры, и их конкретные истории хорошо задокументированы. Но среди миллиона или около того глиняных табличек, которые сохранились со времен древнего Вавилона, не так много документальных свидетельств о каких-либо конкретных людях, за исключением властителей и военных вождей. Так что Набу-Шамашу поневоле придется быть собирательным образом, основанным на правдоподобных умозаключениях, которые в свою очередь основываются на том, что нам удалось узнать о повседневной жизни вавилонян. На его счету нет никаких новых изобретений, но благодаря ему мы получим представление обо всех тех аспектах вавилонского знания, которые существенны для истории симметрии. Имеются веские основания полагать, что все вавилонские писцы должны были получать хорошее образование, важную часть которого составляла математика.

Имя нашего вымышленного писца представляет собой комбинацию двух настоящих вавилонских имен — покровительствовавшего писцам бога Набу и бога Солнца Шамаша. В вавилонской культуре обыкновенных людей нередко называли именами богов, хотя, быть может, два таких имени и воспринимались бы как некоторый перебор. Но в силу причин нарративного характера нам приходится называть его как-то более определенно, чем просто «писец», сохраняя при этом дух того времени. Итак, когда Набу-Шамаш родился, в Вавилоне правил Навуходоносор I — наиболее значительный монарх Второй династии Исина. Это был не его знаменитый библейский тезка, которого обычно называют Навуходоносором II (тот был сыном Набопаласара и правил с 605 по 562 год до Р.Х.).

Правление Навуходоносора II было временем величайшего расцвета Вавилона, как в том, что касалось богатства города, так и в смысле его влияния в регионе. Вавилон процветал также и при власти его предшественника, носившего то же имя, при котором вавилонское владычество распространилось на Аккад и гористые области на севере. Однако в правление Аш-шур-реш-иши и его сына Тиглатпаласара I Аккад, по сути дела, вышел из-под вавилонского контроля, так что для укрепления безопасности были предприняты военные действия против племен, живших в горах и пустынях, что окружали его с трех сторон.

Таким образом, детство Набу-Шамаша пришлось на относительно спокойный период вавилонской истории, хотя к тому времени, как наш герой превратился в юношу, звезда Вавилона начала тускнеть, а жизнь постепенно становилась все менее предсказуемой.

Набу-Шамаш родился в типичной для «высших классов» семье в вавилонском Старом Городе, недалеко от канала Либил-Хигалла и вблизи от заслуженно прославленных ворот Иштар — церемониального входа в город, — украшенных цветными керамическими кирпичами замысловатых форм — там были быки, львы и даже драконы. Дорога, проходящая через ворота Иштар, поражала своей шириной, достигавшей 20 метров; она была вымощена плитками известняка, положенными на асфальтовое покрытие, которое в свою очередь покоилось на кирпичном основании. Называлась она «Да не получит враг победы» — довольно типичное название для вавилонских главных дорог — но широко известна была под именем Дороги Процессий, поскольку использовалась жрецами, проносившими через город бога Мардука, когда того требовал ритуал.

Семейный дом был построен из сделанного из земли обожженного кирпича, стены его достигали шести футов в толщину, чтобы не пропускать внутрь солнце. Во внешних стенах имелось несколько проемов — главным из которых был вход на первом этаже, — а сами стены поднимались на высоту трех этажей, причем для строительства верхнего этажа применялись более легкие материалы, главным образом дерево. Семья владела большим количеством рабов, которые занимались обычной домашней работой. Рабы жили рядом с кухней, справа от входа. Семья занимала комнаты слева: там были длинная гостиная, спальни и санузел. Во времена Набу-Шамаша ванных не существовало, хотя из других эпох до нас и дошло нечто подобное. Вместо этого рабы лили воду на голову и тело моющегося так, что получалось некоторое подобие современного душа. В центре располагался открытый дворик, а в глубине размещались кладовые.

Отец Набу-Шамаша был служащим при дворе не известного нам по имени царя, правившего перед Навуходоносором I. Обязанности его были главным образом бюрократическими: он отвечал за управление целой областью, обеспечивая поддержание там закона и порядка, должную ирригацию полей и полный сбор всех необходимых налогов. Отец Набу-Шамаша в свое время также учился на писца, потому что грамотность и владение счетом были основными требованиями, предъявляемыми к любому, кто находился на госслужбе в ее вавилонском варианте.

Согласно закону, приписываемому богу Энлилю, каждый мужчина должен продолжать род занятий своего отца, поэтому ожидалось, что Набу-Шамаш именно так и поступит. Однако профессия писца открывала и другие возможности для карьеры, в первую очередь — в качестве жреца, так что обучение в школе писцов позволяло в дальнейшем выбирать профессию.

Нам известно, из чего складывалось образование Набу-Шамаша, потому что примерно из того же периода до нас дошли многочисленные записи, сделанные по-шумерски учениками школы писцов. Из этих записей совершенно ясно, что Набу-Шамашу повезло с родителями, поскольку на поступление в такие школы могли рассчитывать только сыновья богатых людей. На самом деле качество вавилонского образования было столь высоким, что знатные иностранцы отправляли туда на обучение своих сыновей.

Школа называлась Домом Табличек, что, надо полагать, служило указанием на глиняные таблички, используемые для письма и арифметики. В ней был старший учитель, к которому обращались «Мастер» или «Отец-учитель». Имелся и классный надзиратель, основной задачей которого было следить за поведением учеников; были специальные учителя по шумерскому языку и математике. У старшего учителя имелись помощники, называемые «Братья Отца», в обязанности которых входило поддержание порядка. Как и все учащиеся, Набу-Шамаш жил дома и ходил в школу каждый день — примерно 24 дня в течение месяца из 30 дней. У него было три свободных дня для отдыха, а еще три набиралось за счет религиозных праздников.

Обучение Набу-Шамаша началось с овладения шумерским языком, в особенности его письменным вариантом. В наличии были словари и сборники упражнений по грамматике, а также длинные упражнения для переписывания — официальные фразы, технические термины, имена. Затем Набу-Шамаш перешел к изучению математики, и именно эти его занятия особенно важны для нашего рассказа.

Что именно изучал Набу-Шамаш? Для всех, кроме философов, логиков и зануд-математиков, число есть последовательность цифр, написанных одна за другой. Так, год, в который я пишу эту фразу, обозначается числом 2006, представляющим собой последовательность из четырех цифр. Но, как не преминут заметить педанты, эта последовательность цифр есть вовсе не число, а только его обозначение, и, кстати, обозначение довольно замысловатое. В нашей привычной десятичной системе используются всего десять цифр — символы от 0 до 9, — но они позволяют представить любое, сколь угодно большое число. Некоторое расширение этой системы позволяет также представлять очень малые числа; точнее говоря, она позволяет представлять численные измерения с очень высоким уровнем точности. Так, согласно самым точным на данный момент измерениям, скорость света приблизительно равна 1079 252 848,8 километра в час.

Эти обозначения нам так привычны, что мы забываем, как хитро они устроены — и как трудно в них разобраться, когда мы видим их первый раз. Ключевое свойство, на котором основано все остальное, состоит вот в чем: численное значение какого-либо символа, например 8, зависит от того, где он располагается по отношению к другим символам. Символ «8» не имеет постоянного значения, не зависящего от контекста. В числе, которое выражает скорость света, цифра 8 непосредственно перед десятичной запятой действительно означает «восемь». Но другая 8 в том же числе означает «восемьсот».

Было бы исключительно неприятно иметь систему письма, в которой значение буквы зависело бы от ее местоположения в слове. Представим себе, например, во что превратился бы процесс чтения, если бы две буквы «а» в слове «алфавит» имели бы полностью различные значения. Однако позиционная система для обозначения чисел настолько удобна и эффективна, что нам трудно себе представить, как можно пользоваться каким-либо другим способом.

Но не всегда дело обстояло таким образом. Нашим современным обозначениям не более 1500 лет, а в Европе их впервые ввели в употребление лишь немногим более 800 лет назад. Даже сегодня для одних и тех же десятичных цифр в различных культурах используются различные символы — достаточно взглянуть на любую египетскую денежную банкноту. Представители древних культур записывали числа множеством самых разнообразных и необычных способов. Вероятно, лучше всего нам известна римская система, в которой число 2006 имеет вид MMVI. В древней Греции то же число имело бы вид βζ.^{1} Вместо наших 2, 20, 200 и 2000 римляне писали II, XX, CC и ММ, а греки — β, κ, σ и β.

Вавилоняне были самой ранней из известных нам культур, использовавших нечто родственное нашим позиционным обозначениям. Однако с одним важным отличием. В десятичной системе при каждом смещении цифры на одну позицию влево ее численное значение умножается на десять. Так, 20 есть 2, умноженное на десять, а 200 — 20, умноженное на десять. В вавилонской же системе каждое смещение влево приводило к умножению числа на шестьдесят. Так, 20 означало бы 2 умножить на 60 (120 в наших обозначениях), а 200 — 2 умножить на 60 умножить на 60 (7200 в наших обозначениях). Разумеется, они не использовали тот же символ «2»; число два они записывали, повторяя дважды тонкий вертикальный клинообразный символ, как показано на рисунке. Повторяя этот знак нужное число раз, они записывали числа от одного до девяти. Для чисел, превосходящих девять, они добавляли другой символ — повернутый клин, который обозначал число десять; повторяя этот символ соответствующее число раз, они записывали числа двадцать, тридцать, сорок и пятьдесят. Так, например, наше число 42 изображалось четырьмя повернутыми клиньями, за которыми шли два вертикальных клина.

Вавилонские числительные с основанием 60.

По причинам, о которых остается только догадываться, эта система прекращалась на 59. Вавилоняне не рисовали шесть повернутых клиньев, чтобы составить 60. Вместо этого они снова использовали вертикальный узкий клин, который ранее обозначал единицу, но теперь ему придавалось значение «один раз по шестьдесят». Два таких клина означали 120. Но они могли также обозначать и «два». Какое именно значение имелось в виду, требовалось понимать из контекста, а также из расположения символов друг относительно друга. Например, если имелось два вертикальных клина, потом пробел, а потом снова два вертикальных клина, то первая группа означала сто двадцать, а вторая — два, подобно тому как символы «2» в нашей записи 22 означают двадцать и два.

Этот метод распространялся и на значительно большие числа. Вертикальный клин мог означать 1, или 60, или 60×60 = 3600, или 60×60×60 = 216 000, и так далее. Три нижние группы на рисунке обозначают число 60×60 + 3×60 + 12, которое мы бы записали как 3792. Большая проблема здесь состоит в том, что обозначения допускают некоторые неоднозначности. Если перед вашими глазами одни только вертикальные клинья, то означают ли они 2, 60×2 или 60×60×2? Означает ли повернутый клин, за которым идут два вертикальных, 12×60 + 2, или 12×60×60 + 2, или даже 10×60×60 + 2×60? Ко времени Александра Македонского вавилоняне устранили эти неоднозначности за счет использования пары небольших диагональных клиньев для указания пустой позиции при записи числа; фактически они изобрели символ для нуля.

Почему вавилоняне использовали шестидесятиричную систему, а не привычную нам десятичную? На их выбор могло повлиять полезное свойство числа 60: у него много разных делителей. Оно нацело делится на числа 2, 3, 4, 5 и 6. Оно также делится на 10, 12, 15, 20 и 30. Это свойство оказывается довольно удобным, когда дело доходит до деления вещей, будь то зерно или земля, на нескольких людей.

Чашу весов вполне мог склонить вавилонский метод измерения времени. По-видимому, вавилонцы находили удобным делить год на 360 дней, несмотря на то что они были превосходными астрономами и знали, что число 365 выражает длину года точнее, a 365¹/₄ — еще точнее. Их слишком сильно завораживало арифметическое соотношение 360 = 6×60. В действительности в том, что касалось указания времени, вавилоняне забывали о правиле, что перенесение символов на одну позицию налево означает умножение на шестьдесят, а вместо этого умножали на шесть, так что выражение, которое должно было бы обозначать 3600, в действительности интерпретировалось как 360.

Привязка к числам 60 и 360 дошла до наших дней — это привычные нам 360 градусов в окружности (по одному градусу на один вавилонский день), а также 60 секунд в минуте и 60 минут в часе. Старые культурные условности обладают удивительной живучестью. Меня особенно умиляет, как в наш век потрясающей компьютерной графики создатели фильмов датируют свои произведения римскими числительными.

Все это, за исключением знака «нуль», Набу-Шамаш и должен был проходить на начальных этапах своего обучения. Ему предстояло научиться ловко и быстро наносить на сырую глину тысячи маленьких клинышков. И подобно тому, как современные школьники не без усилий осваивают переход от целых чисел к обычным и десятичным дробям, так и Набу-Шамаш должен был рано или поздно встретиться с вавилонским методом записи таких чисел, как одна вторая или одна треть, или более сложных долей единицы, жесткая необходимость в которых диктовалась реальностями астрономических наблюдений.

Чтобы по полдня не выписывать клинья, исследователи представляют вавилонскую систему счисления, используя смесь старых и новых обозначений. Вместо групп из клиньев записываются десятичные числа, разделенные запятыми. Так что последняя группа на рисунке запишется как 1,3,12. Такое соглашение экономит массу дорогостоящего типографского набора, а при этом удобно для чтения, так что мы будем поступать также.

Как же записал бы вавилонский писец число «одна вторая»?

В нашей арифметике эта задача решается двумя различными способами. Число или записывается как дробь ¹/₂, или же используется знаменитая десятичная запятая, с помощью которой число представляется как 0,5. Обозначения в виде обыкновенной дроби более интуитивны и исторически возникли раньше; десятичные же обозначения несколько сложнее охватить своим умом, однако они удобнее при вычислениях, поскольку представляют собой естественное расширение правила «позиция-значение», действующего для целых чисел. Символ 5 в числе 0,5 означает «5, деленное на 10», а в числе 0,05 — «5, деленное на 100». Перемещение символа на одну позицию влево умножает его на 10; перемещение на одну позицию вправо делит его на 10. Все очень внятно и логично.

В результате десятичная арифметика по сути такова же, как арифметика целых чисел, за исключением того факта, что нужно следить за положением десятичной запятой.

Вавилоняне использовали ту же идею, но с основанием 60. Дробь ¹/₂ надо было выразить как дробь ¹/₆₀, взятую некоторое число раз. Очевидно, правильное число — ³⁰/₆₀, так что они записывали число «одна вторая» как 0;30, где современные исследователи применяют точку с запятой для указания на «шестидесятиричную запятую», которая в клинописных обозначениях опять же представлялась пробелом. Вавилоняне могли выполнять довольно сложные вычисления: например, известное им значение квадратного корня из 2 составляло 1;24,51,10, что отличается от истинного значения менее чем на одну стотысячную. Они успешно использовали эту точность как в теоретической математике, так и в астрономии.

Самый восхитительный метод, который предстояло изучать Набу-Шамашу, коль скоро речь идет о нашей главной теме — симметрии, — это метод решения квадратных уравнений. Нам много всего известно о вавилонских методах решения уравнений. Из примерно миллиона известных вавилонских глиняных табличек около пятисот посвящены математике. В 1930 году востоковед Отто Нейгенбауэр понял, что запись на одной из этих табличек демонстрирует полное понимание того, что мы называем квадратными уравнениями. Это уравнения, которые содержат неизвестную величину и ее квадрат, перемешанные с различными конкретными числами. Без квадрата уравнение называлось бы «линейным», и такие уравнения решать проще всего. Уравнение, в которое входит куб неизвестного (т.е. неизвестное, умноженное на себя, а потом еще раз на себя), называется «кубическим». Вавилоняне, по-видимому, знали хитрый способ нахождения приближенных решений определенных типов кубических уравнений на основе численных таблиц. Однако все, в чем мы можем быть уверены, — это существование самих таблиц. Можно только предполагать, для чего они использовались, и наиболее вероятный кандидат — кубические уравнения. Но из табличек, которые изучал Нейгенбауэр, ясно следует, что квадратные уравнения писцы освоили полностью.

Типичное квадратное уравнение, которому около 4000 лет, формулируется так: «Найти сторону квадрата, если площадь минус сторона составляет 14,30». Сюда входит квадрат неизвестного (площадь квадрата), а также само неизвестное. Другими словами, в задаче требуется решить квадратное уравнение. На той же табличке довольно бесцеремонно приводится решение: «Возьми половину от 1, что есть 0;30. Умножь 0;30 на 0;30, что даст 0;15. Прибавь это к 14,30, и получишь 14,30;15. Это квадрат числа 29;30. Теперь прибавь 0;30 к 29;30. Результат равен 30 — стороне квадрата».

Что же тут делается? Запишем все эти действия в современных обозначениях.

Самый сложный шаг — четвертый, где требуется найти число (равное 29¹/₂), квадрат которого составляет 870¹/₄. Число 29¹/₂ есть квадратный корень из 870¹/₄. Квадратные корни — основное средство для решения квадратных уравнений, а когда математики попытались применить подобные же методы к решению более сложных уравнений, и родилась современная алгебра.

Ниже мы интерпретируем эту задачу, используя современные алгебраические обозначения. Но важно понимать, что вавилоняне не использовали алгебраические формулы как таковые. Вместо этого под видом типичного примера они описывали конкретную процедуру, которая и приводила к ответу. Но ясно, что они осознавали, что в точности та же самая процедура сработает, если взять другие числа.

Коротко говоря, они умели решать квадратные уравнения, и именно их метод — хотя и не в том самом виде, как они его выражали — мы используем по сей день.

Как вавилоняне смогли открыть свой метод решения квадратных уравнений? Прямых свидетельств у нас нет, но кажется правдоподобным, что они натолкнулись на него, рассуждая геометрически. Возьмем более простую задачу, которая приводит к тому же рецепту. Предположим, что мы нашли табличку, на которой говорится: «Найти сторону квадрата, если площадь плюс две стороны равна 24». В более современных терминах — квадрат неизвестного плюс удвоенное неизвестное равно 24. Это можно представлять себе так, как показано на рисунке.

Геометрическое представление квадратного уравнения.

Здесь вертикальный размер квадрата и прямоугольника слева от знака равенства соответствует неизвестному, а малые квадраты имеют единичный размер. Если разбить высокий прямоугольник пополам и приклеить два полученных куска к квадрату, то получится фигура, имеющая вид квадрата с одним недостающим углом. Рисунок подсказывает, что надо «дополнить квадрат» путем прибавления к обеим частям уравнения недостающего угла.

Дополнение квадрата.

Теперь у нас имеется квадрат слева и 25 единичных квадратов справа. Соберем их в квадрат 5×5:

Теперь решение очевидно: неизвестное плюс один при возведении в квадрат дает квадрат числа пять. Извлекая квадратные корни, находим, что неизвестное плюс один равно пяти; не надо быть гением, чтобы найти неизвестное: оно равно четырем.

Такое геометрическое описание в точности соответствует вавилонскому методу решения квадратных уравнений. В более сложном примере из табличек используется в точности тот же рецепт. На табличке лишь приведен рецепт, но не сказано, откуда он взялся, однако геометрическая картина согласуется и с другими косвенными свидетельствами.