В следующих витринах галереи нас поражают числовые достопримечательности совсем особого рода – некоторое подобие пирамид, составленных из чисел. Рассмотрим поближе первую из таких пирамид.

Как объяснить эти своеобразные результаты умножения, эту странную закономерность?

Возьмем для примера какой-нибудь из средних рядов нашей числовой пирамиды 123456 × 9 + 7. Вместо умножения на 9 можно умножить на (10 – 1), т. е. приписать 0 и вычесть умножаемое:

Достаточно взглянуть на последнее вычитание, чтобы понять, почему тут получается результат, состоящий только из одних единиц.

Мы можем также понять это, исходя и из других рассуждений. Чтобы число вида 12345… превратилось в число вида 11111… нужно из второй его цифры вычесть 1, из третьей – 2, из четвертой – 3, из пятой – 4 и т. д. – иначе говоря, вычесть из него то же число вида 12345… но вдесятеро меньшее и предварительно уменьшенное на последнюю цифру. Теперь понятно, что для получения искомого результата нужно наше число умножить на 10, прибавить к нему следующую за последней цифру и вычесть из результата первоначальное число (умножить на 10 и отнять множимое значит умножить на 9). Сходным образом объясняется образование и следующей числовой пирамиды,

получающейся при умножении определенного ряда цифр на 8 и прибавлении последовательно возрастающих цифр. Особенно интересна в этой пирамиде последняя строка, где в результате умножения на 8 и прибавления 9 происходит превращение полного натурального ряда цифр в такой же ряд, но с обратным расположением.

Необходимость получения таких странных результатов уясняется из следующей строки [22] :

то есть 12345 × 8 + 5 = 111111 – 12346. Но, вычитая из числа 111111 число 12346, составленное из ряда возрастающих цифр, мы, как легко понять, должны получить ряд убывающих цифр 98765.

Обоснованность третьей числовой пирамиды, воспроизведенной здесь, есть прямое следствие существования

первых двух. Связь эта устанавливается очень легко. Из первой пирамиды мы знаем уже, что например:

12345 × 9 + 6 = 111111.

Умножив обе части на 8, имеем:

(12345 × 8 × 9) + (6 × 8) = 888888.

Но из второй пирамиды мы знаем, что

12345 × 8 + 5 = 98765, или что 12345 × 8 = 98760.

Значит:

888888 = (12345 × 8 × 9) + (6 × 8) = (98760 × 9) + 48 = (98760 × 9) + (5 × 9) + 3 = (98760 + 5) × 9 + 3 = 98765 × 9 + 3.

Вы убеждаетесь, что оригинальные числовые пирамиды не так уже загадочны, как кажутся с первого взгляда. Законы их образования нетрудно уяснить себе, вглядевшись в них повнимательнее. Это не помешало одной немецкой газете несколько лет назад поместить их на своих столбцах с припиской: «Причина такой поразительной закономерности никем еще до сих пор не была объяснена». Вы видите, что здесь и объяснять-то почти нечего.