Суббота, 20.07.2024, 00:24
Ш  К  О  Л  А     П  И  Ф  А  Г  О  Р  А
      Предмет математики настолько серьезен, что нужно
не упускать случая, сделать его немного занимательным".
                                                                              Блез Паскаль
Главная | Регистрация | Вход Приветствую Вас Гость | RSS
ПАМЯТКИ ПО МАТЕМАТИКЕ   ВЕЛИКИЕ МАТЕМАТИКИ   ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ   МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
УРОКИ МАТЕМАТИКИ В ШКОЛЕ
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КЛАДОВАЯ
В МИРЕ ЗАДАЧ
ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ
МАТЕМАТИКА В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ
ВАРИ, КОТЕЛОК!
УДИВИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
В МИРЕ ИНТЕРЕСНОГО
Категории раздела
МАТЕМАТИКА ВЧЕРА, СЕГОДНЯ, ЗАВТРА [12]
УДИВИТЕЛЬНЫЙ МИР ЧИСЕЛ [17]
ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА В РАССКАЗАХ ДЛЯ ДЕТЕЙ [18]
ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ ВЗРОСЛЫХ И ДЕТЕЙ [31]
ШКОЛЬНИКАМ О ШИФРАХ [26]
ЗАГАДКИ И ДИКОВИНКИ В МИРЕ ЧИСЕЛ [68]
ВСЕМИРНАЯ ИСТОРИЯ СИММЕТРИИ [16]
Главная » Статьи » ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА » ЗАГАДКИ И ДИКОВИНКИ В МИРЕ ЧИСЕЛ

Идеальный разновес

У некоторых читателей, вероятно, возник уже вопрос: почему для выполнения описанных раньше опытов мы пользуемся именно двоичной системой? Ведь всякое число можно изобразить в любой системе, между прочим, и в десятичной. Чем же объясняется предпочтение двоичной?

Объясняется оно тем, что в этой системе, кроме нуля, употребляется всего одна цифра – единица, а следовательно, число составляется из различных степеней 2, взятых только по одному разу. Если бы в фокусе с конвертами мы распределили деньги, например, по 5-ричной системе, то могли бы составить, не вскрывая конвертов, любую сумму лишь в том случае, когда каждый пакет повторяется у нас не менее 4 раз (в 5-ричной системе, кроме нуля, употребляются ведь 4 цифры).

Впрочем, бывают случаи, когда для подобных надобностей удобнее пользоваться не двоичной, а троичной системой, несколько видоизмененной. Сюда относится знаменитая старинная «задача о системе гирь», которая может послужить сюжетом и для арифметического фокуса.

Представьте, что вам предложили придумать систему из 4 гирь, с помощью которых возможно было бы отвесить любое целое число фунтов от 1 до 40. Двоичная система подсказывает вам набор:

1 ф., 2 ф., 4 ф., 8 ф., 16 ф.,

которым можно отвешивать все грузы от 1 до 31 фунта. Но это, очевидно, не удовлетворяет требуемым условиям ни по числу гирь, ни по предельному грузу (31 ф. вместо 40 ф.). С другой стороны, однако, вы не использовали здесь предоставляемой весами возможности – класть гири не только на одну чашку весов, но и на две, т. е. пользоваться не только суммою гирь, но и их разностью. Это дает так много разнообразных комбинаций, что вы совершенно теряетесь в поисках, не умея уложить их в какую-либо систему. Если вам не посчастливится напасть на правильный путь, вы готовы будете даже сомневаться вообще в разрешимости подобной задачи таким малым числом гирь, как четыре. Но посвященный выходит из затруднения с волшебной простотой, намечая следующие 4 гири:

1ф.,3ф.,9ф.,27ф.

Любое целое число фунтов, в пределах одного пуда, вы можете отвесить такими гирями, кладя их то на одну, то на обе чашки весов. Не приводим примеров, потому что каждый легко может убедиться сам в полной пригодности такого набора гирь для нашей цели. Остановимся лучше на том, почему именно указанный ряд обладает этим свойством. Вероятно, читатели уже заметили, что числа эти – ряд степеней числа 3 [27] .

30, 31, 32, 33.

Другими словами, мы обращаемся здесь к услугам троичной системы счисления. Но как воспользоваться ею в тех случаях, когда требуемый вес получается в виде разности двух гирь? И как избегнуть необходимости обращаться к удвоению гирь (в троичной системе ведь, кроме нуля, употребляются две цифры: 1 и 2)? То и другое достигается введением «отрицательных» цифр; дело сводится попросту к тому, что вместо цифры 2 употребляют 3–1, т. е. цифру единицы высшего разряда, от которого отнимается одна единица низшего. Например, число 2 в нашей видоизмененной троичной системе обозначится не 2, а 11, где знак минус над цифрой единиц означает, что эта единица не прибавляется, а отнимается. Точно так же число 5 изобразится не 12, а 

(т. е. 9–3 – 1 = 5). Первые десять чисел изобразятся в этой упрощенной троичной системе следующим образом:

Теперь ясно, что если любое число можно изобразить в троичной системе с помощью нуля (т. е. знака отсутствия числа) и одной только цифры, именно прибавляемой или отнимаемой единицы, – то из чисел 1,

3, 9, 27 можно, складывая или вычитая их, составить все числа от 1 до 40. Случай сложения отвечает при взвешивании тому случаю, когда все гири помещаются на одну чашку, а случай вычитания – когда гиря кладется на чашку с товаром и, следовательно, вес ее отнимается от веса остальных гирь. Нуль соответствует отсутствию гири.

Применяется ли эта система на практике? Как известно, нет. Всюду в мире, где введена метрическая система мер, применяется набор в 1, 2, 2, 5 единиц, а не 1, 3, 9, 27, – хотя первым можно отвешивать грузы только до 10 единиц, а вторым – до 40. Не применяется набор 1, 3, 9, 27 и там, где еще метрическая система не введена [28] . Причина отказа на практике от этого совершеннейшего разновеса кроется в том, что он удобен только на бумаге, на деле же пользоваться им весьма хлопотливо. Если бы приходилось только отвешивать заданное число весовых единиц – например, отвесить 400 г масла или 2500 г сахара, – то системой гирь в 100, 300, 900, 2700 можно было бы еще на практике пользоваться (хотя и тут приходилось бы каждый раз долго подыскивать соответствующую комбинацию). Но когда приходится определять, сколько весит данный товар, то подобный разновес оказывается страшно неудобным: здесь нередко, ради прибавления к поставленным гирям одной единицы, придется произвести полную замену прежней комбинации другой, новой. Отвешивание становится при таких условиях крайне медленным и притом утомительным делом – в чем легко убедиться, если, написав обозначения гирь на бумажках, проделать с ними ряд примерных взвешиваний.

Фокусы, основанные на пользовании двоичной и троичной системами счисления, могут быть еще видоизменяемы [29] – но я предоставляю их изобретательности читателя и перехожу к арифметическим фокусам иного рода.

Категория: ЗАГАДКИ И ДИКОВИНКИ В МИРЕ ЧИСЕЛ | Добавил: admin (14.08.2013)
Просмотров: 789 | Теги: арифметика, занимательная математика, интересная математика, уроки математики в школе, математика в школе, дидактический материал по математик | Рейтинг: 0.0/0
УЧИТЕЛЮ ИНФОРМАТИКИ
КОНСПЕКТЫ УРОКОВ
ВНЕКЛАССНЫЕ МЕРОПРИЯТИЯ ПО ИНФОРМАТИКЕ
ПОСОБИЯ И МЕТОДИЧКИ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ ИНФОРМАТИКИ
ИЗ ОПЫТА РАБОТЫ УЧИТЕЛЯ ИНФОРМАТИКИ
ЗАДАНИЯ ШКОЛЬНОЙ ОЛИМПИАДЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ
ИНФОРМАТИКА В ШКОЛЕ
ИНФОРМАТИКА В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ
ИНФОРМАТИКА В 3 КЛАССЕ
ИНФОРМАТИКА В 4 КЛАССЕ
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ. 3 КЛАСС
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ. 4 КЛАСС
ПРОГРАММИРОВАНИЕ ДЛЯ ДЕТЕЙ
СКАЗКА "ПРИКЛЮЧЕНИЯ ЭЛЕКТРОШИ"

ИГРОВЫЕ ТЕХНОЛОГИИ НА УРОКАХ ИНФОРМАТИКИ
ИГРОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ИНФОРМАТИКЕ
ВИКТОРИНЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ
КОМПЬЮТЕРНЫЕ ЧАСТУШКИ
ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ
Поиск


Друзья сайта
  • Создать сайт
  • Все для веб-мастера
  • Программы для всех
  • Мир развлечений
  • Лучшие сайты Рунета
  • Кулинарные рецепты
  • Статистика

    Онлайн всего: 1
    Гостей: 1
    Пользователей: 0
    Форма входа


    Copyright MyCorp © 2024
    Яндекс.Метрика Top.Mail.Ru