Что за странные кольца выставлены в следующей витрине нашей галереи? Перед нами три плоских кольца, вращающихся одно в другом. На каждом кольце написаны 6 цифр в одном и том же порядке, иначе говоря – написано одно и то же число: 142857. Причина, заставившая поместить эти кольца в нашу арифметическую кунсткамеру, заключается в следующем удивительном свойстве их: как бы ни были повернуты кольца, мы при сложении двух написанных на них чисел – считая от любой цифры в направлении начерченной стрелки – во всех случаях получим… то же самое шестизначное число (если только результат вообще будет 6-значный), лишь немного подвинутое!

Магические кольца

В том, например, положении, какое изображено на прилагаемом чертеже, мы имеем при сложении двух наружных колец: 

т. е. опять-таки тот же ряд цифр: 142857, только цифры 5 и 7 перенеслись в начало.

При другом расположении колец относительно друг друга мы имеем, например:

Исключение составляет лишь единственный случай, когда в результате получается 999999 (складываемые цифры дополняют друг друга до девяти): 

Мало того. Тот же ряд цифр в той же последовательности мы получим и при вычитании чисел, написанных на кольцах. Например:

Исключение составляет случай, когда приведены к совпадению одинаковые цифры – тогда, разумеется, разность равна нулю. Но и это еще не все замечательные свойства нашего числа 142857. Умножьте его на 2, на 3, на 4, на 5 или на 6 – и вы получите, как и раньше, снова то же число, лишь передвинутое, в круговом порядке, на одну или несколько цифр:

142857 × 2 = 285714

142857 × 3 = 428571

142857 × 4 = 571428

142857 × 5 = 714285

Вы видите, что произведение отличается от умножаемого лишь порядком цифр: группа цифр, стоящих впереди, очутилась на конце.

Пора, однако, объяснить, чем же обусловлены все загадочные особенности этого числа. Мы нападем на путь к разгадке, если продлим немного последнюю табличку и попробуем умножить наше число на 7: в результате получится 999999. Значит, число наше – не что иное, как седьмая часть 999999, т. е. дробь 142857/999999 = 1/7. И действительно, если вы станете превращать 1/7 в десятичную дробь, вы получите:

Наше загадочное число есть, следовательно, период бесконечной периодической дроби, которая получается при превращении 1/7 в десятичную. Становится понятным теперь, почему при удвоении и т. д. этого числа происходит лишь перестановка одной группы цифр на другое место. Ведь умножение этого числа на 2 делает его равным 2/7 и, следовательно, равносильно превращению в десятичную дробь уже не 1/7, а 2/7 Начав же превращать дробь 2/7 в десятичную, вы сразу заметите, что цифра 2 – один из тех остатков, которые у нас получались уже при превращении 1/7: ясно, что должен поэтому повториться прежний ряд цифр частного, но он начнется с другой цифры; другими словами, должен получиться тот же период, но только несколько начальных цифр его очутятся на конце. То же самое должно произойти и при умножении на 3, на 4, на 5 и на 6, т. е. на все числа, получающиеся в остатках. При умножении же на 7 мы должны получить целую единицу, – т. е. 0,9999… если представить ее в виде бесконечной периодической дроби.

Любопытные результаты сложения и вычитания чисел на кольцах находят себе объяснение в том же факте, что 142857 есть период дроби, равной 1/7. В самом деле: что мы делаем, поворачивая кольцо на несколько цифр? Мы переставляем группу цифр спереди на конец, т. е., согласно только что сказанному, мы умножаем число 142857 на 2, на 3, на 4 и т. д. Следовательно, все действия сложения или вычитания чисел, написанных на кольцах, сводятся к сложению или вычитанию дробей 1/7, 2/7,3/7 и т. д. В результате мы должны получить, конечно, несколько седьмых долей, – т. е. опять-таки наш ряд цифр 142857 в той или иной круговой перестановке. Отсюда надо исключить лишь случаи, когда складываются такие числа седьмых долей, которые в сумме дают 1 или больше 1.

142857 × 8 = 142857 × 7 + 142857 = 999999 + 142857 = 1000000 – 1 + 142857 = 1000000 + (142857 – 1).

Окончательный результат – 1142856 – отличается от умножаемого 142857 только тем, что впереди стоит еще одна единица, а последняя цифра на единицу же уменьшена. По сходному правилу составляются произведения 142857 на всякое другое число, большее 7, – как легко усмотреть из следующих строк:

142807 × 8 = (142857 x 7) +142857 =1000000-1 + 142857=1142856

142857 × 9 = (142857 × 7) + (142857 × 2) = 1000000—1+ 285714= 1285713

142857 × 10 = (142857 × 7) + (142857 × 3) = 1000000-1 +428571 = 1428570

142857 × 16 = (142857 × 7 × 2)+ (142857 × 2) =2000000-2 + 285714 = 2285713

Общее правило здесь такое: при умножении 142857 на любой множитель нужно умножить лишь на остаток от деления множителя на 7; впереди этого произведения ставится число, показывающее, сколько семерок в множителе, и то же число вычитается из результата [24] . Пусть мы желаем умножить 142857 на 86. Множитель 86 при делении на 7 дает в частном 12 и в остатке 4. Следовательно, результат умножения

12571428– 12= 12571416.

От умножения 142857 × 365 мы получим (так как 365 при делении на 7 дает в частном 52, а в остатке 1):

52142857-52 = 52142803.

Усвоив это простое правило и запомнив результаты умножения нашего диковинного числа на множители от 2 до 6 (что весьма нетрудно – нужно помнить лишь, с какой цифры они начинаются), вы можете изумлять непосвященных молниеносно быстрым умножением шестизначного числа. А чтобы не забыть этого удивительного числа, запомним, что оно произошло от 1/7, или – что то же самое – от 1/14; вот вам первые три цифры нашего числа: 142. Остальные три получаются вычитанием первых трех из девяти: 

Мы уже имели дело с такими числами – именно, когда знакомились со свойствами числа 999. Вспомнив сказанное там, мы сразу сообразим, что число 142857 есть, очевидно, результат умножения 143 на 999:

142857 = 143 × 999.

Но 143= 13 × 11. Припомнив замеченное раньше о числе 1001, равном 7 × 11 × 13, мы будем в состоянии предсказать, не выполняя действия, что должно получиться от умножения 142857 × 7:

142857 × 7 = 143 × 999 × 7 = 999 × 11 × 13 × 7 = 999 × 1001 = 999999

(все эти преобразования мы, конечно, можем проделать в уме).