Наши беседы о великанах и карликах из мира чисел были бы не полны, если бы мы не рассказали читателю об одной изумительной диковинке этого рода, – диковинке, правда, не новой, но стоящей дюжины новинок. Чтобы подойти к ней, начнем с следующей, на вид весьма простенькой задачи:

Какое самое большое число можно написать тремя цифрами?

Хочется ответить: 999, – но, вероятно, вы уже подозреваете, что ответ другой, иначе задача была бы чересчур проста. И действительно, правильный ответ пишется так:

Выражение это означает: «девять в степени девять в девятой степени». Другими словами: нужно составить произведение из стольких девяток, сколько единиц в результате умножения:

9 × 9 × 9 × 9 × 9 × 9 × 9 × 9 × 9.

387420489.

Главная работа только начинается: теперь нужно найти 9387420489, т. е. произведение 387420489 девяток. Придется сделать круглым счетом 400 миллионов умножений… У вас, конечно, не будет времени довести до конца подобное вычисление. Но я лишен возможности сообщить вам готовый результат – по трем причинам, которые нельзя не признать весьма уважительными. Во-первых, число это никогда и никем еще не было вычислено (известен только приближенный результат). Во-вторых, если бы даже оно и было вычислено, то, чтобы напечатать его, понадобилось бы не менее тысячи таких книг, как эта, потому что число наше состоит из 369 693 100 цифр; набранное обыкновенным шрифтом, оно имело бы в длину 1000 верст… Наконец, если бы меня снабдили достаточным количеством бумаги, я и тогда не мог бы удовлетворить вашего любопытства; вы легко можете сообразить почему. В самом деле, если я способен писать без перерыва по две цифры в секунду, то в час я напишу 7200 цифр, а в сутки, работая непрерывно день и ночь, – не более 172800 цифр. Отсюда следует, что, не отрываясь ни на секунду от пера, трудясь круглые сутки изо дня в день без праздников, я просидел бы за работой не менее 7 лет, прежде чем написал бы это число…

Вы видите, что уже число цифр нашего результата невообразимо огромно. Как же велико само число, выражаемое этим тысячеверстным рядом цифр? Трудно дать хотя бы приблизительное представление о его громадности, потому что такого множества отдельных вещей – считая даже каждый электрон за отдельную вещь – нет в целой вселенной!

Архимед вычислил некогда, сколько песчинок заключал бы в себе мир, если бы весь он, до неподвижных звезд, был наполнен тончайшим песком. У него получился результат, не превышающий единицы с 63 нулями. Наше число состоит не из 64, а из 370 миллионов цифр – следовательно, оно неизмеримо превышает огромное число Архимеда.

Поступим же по примеру Архимеда, но вместо «исчисления песчинок» произведем «исчисление электронов». Вы уже знаете, что электрон меньше песчинки примерно во столько же раз, во сколько раз песчинка меньше земного шара. Для размеров вселенной возьмем наибольшую предельную величину, допускаемую для нее современной наукой. Именно, есть основание думать, что поперечник вселенной не может превышать расстояния, пробегаемого световым лучом в миллиард лет (в секунду свет проходит 300000 километров). Представим себе теперь, что вся таких размеров вселенная сплошь заполнена плотнейшим металлом – платиной, каждый атом которой заключает 78 электронов. Сколько электронов помещалось бы тогда во вселенной? Расчет дает результат, состоящий «всего только» из 100 цифр. Сколько же понадобилось бы «платиновых вселенных», чтобы вместить

 электронов? Столько, сколько единиц в числе, состоящем примерно из 369693 цифр… Вы видите, что, наполняя весь мир – величайшее, что мы знаем – электронами, т. е. мельчайшим из того, что нам известно, – мы не исчерпали бы и небольшой доли того исполинского числа, которое скромно скрывается под изображением:

Познакомившись с этим замаскированным гигантом, обратимся к его противоположности. Если бы вас спросили, какое самое маленькое число можно написать тремя цифрами, вы теперь не удовлетворились бы ответом вроде 

а написали бы, вероятно, что-нибудь вроде 

Это, действительно, весьма малое число, потому что оно равно 

Однако скромное вторжение в область алгебры даст вам средство написать гораздо меньшее число, именно

Это означает:

Другими словами, мы имеем здесь уже знакомое нам огромное число, но только в знаменателе. Сверхвеликан превратился в сверхлилипута…