Такими чуждыми для современного слуха стихами воспевал пользу Пифагоровой таблицы составитель обширного старинного русского учебника математики [7] Леонтий Магницкий, – учебника, по которому учились в XVIII веке наши прадеды и через врата которого гениальный Ломоносов вступил юношей в храм своей учености.

Большинство из нас уже успело позабыть о том времени, когда мы приступали к изучению таблицы умножения и постепенно одолевали ее строку за строкой. Однако, некоторые, вероятно, помнят, что не все строки этой таблицы давались одинаково. Одни усваивались очень быстро, как-то сами собой, чуть не с первого раза, – например 5 × 5 = 25, 8 × 2 = 16. Другие давались гораздо труднее: сначала как будто запоминались, но скоро снова ускользали из памяти, так что приходилось возвращаться к ним много раз, прежде чем они прочно запечатлевались. Припомните, скоро ли удалось вам затвердить, что 7 × 8 = 56? По крайней мере, для многих это было одно из труднейших мест таблицы.

Между тем для овладения арифметикой необходимо безошибочное знание всей таблицы: современный способ умножения и деления многозначных чисел основывается на твердом усвоении готовых результатов умножения однозначных чисел, т. е. на знании наизусть Пифагоровой таблицы. Справедливо, писал Магницкий, что не знающий ее «во всей науки несвобод от муки». И в наши дни, как во времена Магницкого, миллионы юных школьников под всеми широтами и долготами земного шара терпеливо заняты ее затверживанием.

Стремясь облегчить этот труд, специалисты по педагогической психологии в последнее время обратили внимание на затруднительные места таблицы умножения и подвергли их обстоятельному исследованию. Результаты получились любопытные. Оказалось, что главными камнями преткновения в таблице являются для всех одни и те же строки, а именно приведенные здесь пять:

8 × 7 = 56

9 × 7 = 63

9 × 8 = 72

7 × 6 = 42

Из многих сотен опрошенных взрослых и детей большинство указало именно на эти пять случаев умножения как на наиболее трудные во всей таблице. Особенно единодушно указывали на строку 8 × 7 = 56.

Далее строки Пифагоровой таблицы располагались по степени трудности в таком порядке:

8 × 6

8 × 8

7 × 6

8 × 4

7 × 4

7 × 5

7 × 3

5 × 4

8 × 5

6 × 4

Затем исследователи «камней преткновения» Пифагоровой таблицы сделали такой же тщательный опрос о том, какие из 10-ти столбцов в таблице умножения являются труднейшими для усвоения. И тут ответы получились однообразные. А именно, всего труднее оказались случаи умножения на 7, затем на 8. Третье место занимает умножение на 9, четвертое – умножение на 6. Напротив, легкими строками единодушно считаются, – как и следовало ожидать – прежде всего случаи умножения на 2; затем – на 3, на 5 и на 4.

Результаты этих психологических изысканий, произведенных среди германских школьников и учителей [8] , по всей вероятности, совпадают с выводами личного опыта большинства читателей. Все, без сомнения, согласятся, что именно случаи умножения на 7, 8 и 9 были и остаются наиболее трудными для усвоения и что труднейшие из всех – строки: 8 × 7,9 × 7, 9 × 8,7 × 6 и 9 × 6; спор может идти разве лишь о порядке этих случаев по степени их трудности. Да и будучи взрослыми, победоносно преодолев все арифметические затруднения, мы порою запинаемся именно на этих случаях умножения, когда нам приходится вычислять наспех или с усталой головой; не доверяя памяти, мы стараемся проверить результат окольным путем или спрашиваем подтверждения у других: «Семью восемь – пятьдесят шесть?»

Очевидно, затруднения эти не случайны, раз они повторяются с таким постоянством. Чем же они объясняются?

Причин несколько, и все они коренятся в тех бессознательных приемах, которыми мы обычно пользуемся при запоминании чисел. В тех случаях умножения, которые мы считаем «легкими», нам оказывает поддержку какой-нибудь вспомогательный прием (хотя обычно мы об этом и не подозреваем). Например, умножение на 2 мы бессознательно заменяем более знакомым нам действием сложения: 4 × 2 = 4 + 4. Часто запоминанию помогает созвучие: «пятью пять – двадцать пять», «шестью шесть – тридцать шесть», «шестью восемь – сорок восемь». Рифмованные строки всегда легче запоминаются, особенно в молодом возрасте; недаром в старинных грамматиках, для облегчения запоминания, составлялись стихотворные бессмыслицы даже из предлогов и наречий.

Все обстоятельства, облегчающие запоминание чисел Пифагоровой таблицы, было бы долго перечислять, тем более, что они еще не установлены бесспорно. Почему строка 9x9 = 81 затверживается легче, чем 7 × 8 или 8 × 9? Вероятно, здесь помогает характерный узор числа 81: кривая восьмерка и рядом – прямая единица. Немалую роль играют и такие признаки, как цифра 5 в конце всех чисел, полученных от умножения на это число. Иные случаи легко запоминаются благодаря их частому применению в жизни (4 × 7 – четыре недели).

8 × 7 = 56, 9 × 7 = 63, 9 × 8 = 72, 7 × 6 = 42, 9 × 6 = 54

трудны и потому, что реже других встречаются в житейском обиходе, и потому, что не звучат созвучно, и потому, что не дают опоры глазу каким-либо характерным признаком. То, что строки эти состоят из четырех различных, но близких цифр (8, 7, 6, 5), также затрудняет запоминание. Наконец, такие сходные результаты, как 56 и 54, легко смешиваются и требуют для отчетливого различения особого напряжения. В подобных неуловимых особенностях некоторых строк таблицы умножения и коренится причина, превращающая их в неизменные камни преткновения для всякого, затверживающего эту таблицу.