В небольшом городке на северо-западе США жил
вышедший на пенсию машинист Уильям Джонсон. Железнодорожная магистраль,
на которой он прослужил долгие годы, проходила через городок. Мистера
Джонсона мучила бессонница и он частенько просыпался среди ночи и не мог
заснуть до утра. Иногда в подобных случаях мистер Джонсон отправлялся
на прогулку по пустынным улицам городка и неизменно приходил к переезду.
Там он стоял, задумчиво глядя на рельсы, пока мимо, словно возникнув из
ночной тьмы, не проносился поезд. При виде мелькающих вагонов на душе у
мистера Джонсона становилось легче, он брел к себе домой и с высокой
вероятностью засыпал.
Спустя некоторое время мистер Джонсон сделал
прелюбопытное наблюдение: большинство поездов, которые он видел на
переезде, шли в восточном направлении и лишь немногие — в западном,
между тем мистеру Джонсону было прекрасно известно, что на этой линии на
восток и на запад ходило одинаковое количество поездов, причем
восточные и западные поезда чередовались. Мистер Джонсон уже было решил,
что ошибся в своих подсчетах и, чтобы избавиться от сомнений, обзавелся
блокнотом, в котором стал отмечать буквами «В» и «3» проходившие мимо
поезда в зависимости от того, в каком направлении они шли. К концу
первой недели набралось пять «В» и только две «3». Наблюдения на
следующей неделе дали такое же соотношение.
— Может быть, все дело в том, что я просыпаюсь ночью
в одно и то же время, — подумал, мистер Джонсон, — и прихожу к переезду
незадолго до прохождения поездов, идущих на восток?
Озадаченный, мистер Джонсон решил предпринять
строгое статистическое изучение проблемы и распространить наблюдения на
дневное время. Он попросил своего приятеля составить для него длинный
перечень произвольно выбранных моментов времени, например 9.35 утра,
12.00 — полдень, 3.07 дня и т. д., и, стоя у железнодорожного переезда,
скрупулезно отмечал поезда, проходившие в указанное в перечне время на
восток или на запад. Но все было тщетно: результат оказался тем же, что и
прежде. Из ста поездов, проследовавших через переезд мимо мистера
Джонсона, около семидесяти пяти шли на восток и только двадцать пять —
на запад. В отчаянии мистер Джонсон даже позвонил в депо ближайшего
большого города, пытаясь выяснить, не направлялись ли восточные поезда
по какой-нибудь другой линии, но его заверили, что ничего подобного не
происходило, все поезда следуют точно по расписанию и что поездов,
идущих в восточном направлении, ровно столько же, сколько идущих на
запад. Таинственное предпочтение поездов к направлению на восток довело
мистера Джонсона до отчаяния. Он совсем потерял сон и тяжело заболел.
Местный врач, к которому обратился мистер Джонсон, был большим любителем математики и на досуге собирал задачи-головоломки.
— Это что-то новенькое, — заключил он, когда мистер
Джонсон поведал ему о причинах своих треволнений. — Впрочем, минуту!
Ведь должно же существовать какое-то рациональное объяснение!
И, поразмыслив несколько минут, врач дал правильное объяснение мучившей мистера Джонсона головоломке.
— Видите ли, — начал врач свое объяснение, — все
дело именно в том, что поезда идут строго по расписанию, хотя вы и
приходите к железнодорожному переезду в случайно выбранные моменты
времени. Предположим, что поезда, идущие на восток, проходят через
переезд в начале каждого часа, а поезда, идущие на запад, — каждый час с
четвертью. Пусть число поездов, идущих на восток и на запад, будет
одинаковым. Выясним теперь, какой поезд первым пройдет мимо вас, когда
вы встанете у переезда. Если вы прибудете после начала часа, но не
позже, чем час с четвертью, скажем, между 1.00 и 1.15, то первым мимо
вас проследует поезд на запад, т. е. поезд, проходящий в 1.15. Но если
вы опоздаете к этому поезду, то следующий поезд пройдет в 2.00 на
восток.
Так как вы приходите на переезд в случайно
выбранные моменты времени, то вероятность того, что вы прибудете в
первую четверть часа, в три раза меньше, чем вероятность, что вы
прибудете в остальные три четверти часа. Следовательно, вероятность, что
первый поезд пройдет на восток, в три раза больше, чем вероятность, что
он пройдет на запад. Именно это вы и наблюдали.
— Но я не понимаю, — возразил мистер Джонсон. —
Если вероятность встретить поезд, идущий на восток, в три раза больше
вероятности встретить поезд, идущий на запад, то разве не следует из
этого математически, что поездов, идущих на восток, должно быть больше? Я
не очень силен в математике, но такой вывод представляется мне
естественным.
— Нет, вы заблуждаетесь, — улыбнулся врач. — Ну
как вы не поймете? Первый поезд с большей вероятностью пройдет мимо вас
на восток потому, что вероятность вашего появления на переезде в
промежутке между поездом на запад и поездом на восток больше, чем
вероятностъ появления в промежутке между поездом на восток и поездом на
запад. Правда, ждать поезда в первом случае вам приходится гораздо
дольше, чем во втором.
— Как так? — воскликнул окончательно запутавшийся машинист. — Что значит «ждать дольше»?
— Сейчас вам все станет ясно, — терпеливо
продолжал объяснять врач. — Если вы приходите к переезду в первую
четверть часа, то первым мимо вас проходит поезд на запад и ждать вам
придется не более пятнадцати минут. Более того, реальное время ожидания
составит в среднем всего лишь семь с половиной минут. С другой стороны,
если вы опоздаете к поезду, идущему на запад, то вам придется в течение
почти сорока пяти минут ждать, пока пройдет поезд на восток. Таким
образом, хотя вероятность, что первым мимо вас проследует поезд на
восток, в три раза больше, чем вероятность, что первым пройдет поезд на
запад, поезда на восток вам придется ждать втрое дольше, что в какой-то
мере уравнивает шансы.
Может быть, отношение числа поездов, идущих на
восток, к числу поездов, идущих на запад, и не будет в точности
совпадать с отношением четверти часа к трем четвертям, но я ничуть не
сомневаюсь, что, просмотрев свой перечень случайно выбранных моментов
времени, вы обнаружите отношение, близкое к названному. Такова общая
схема событий. Если количество поездов, идущих на восток и на запад,
одинаково, то ваши наблюдения, производимые достаточно долго, могут
привести только к одному результату: поезда, идущие в восточном
направлении, будут встречаться чаще, чем поезда, идущие в западном
направлении. Лишь бы интервал от каждого поезда, идущего на восток, до
поезда, идущего на запад, был короче, чем интервал от каждого поезда,
идущего на запад, до поезда, идущего на восток.
— Мне нужно хорошенько все это обдумать, —
произнес мистер Джонсон, почесав в затылке. — Значит, по-вашему, все
дело в расписании поездов?
— Если хотите, разгадку мучившей вас загадки можно изложить иначе, не упоминая ни словом о расписании, — предложил врач. — Возьмем, например, один-единственный поезд
«Суперчиф», курсирующий между Чикаго и Лос-Анджелесом. Предположим, что
мы находимся в пятистах милях от Чикаго и в тысяче пятистах милях от
Лос-Анджелеса и что вы приходите к переезду в случайно выбранные
моменты времени. Где с наибольшей вероятностью находится в этот момент
поезд?
Так как до Лос-Анджелеса втрое дальше, чем до
Чикаго, то шансы 3: 1 за то, что поезд находится к западу от вас, а не к
востоку. А коль скоро он находится к западу от вас, то впервые поезд
пройдет мимо вас, двигаясь на восток. Разумеется, если между Чикаго и
Калифорнией курсирует не один, а много поездов, как это и происходит в
действительности, то ситуация не изменится, и первый поезд, который
проследует мимо нашего городка в любой момент времени, вероятнее всего
будет двигаться на восток.
— Весьма вам признателен, доктор, — произнес мистер
Джонсон, встав с кресла и взяв шляпу. — Вы излечили меня без всяких
лекарств. |
