У любых операций есть свои правила применимости,
которые необходимо соблюдать, чтобы выражения и действия не теряли
смысла. Бинарные теоретико-множественные операции объединения,
пересечений и разности могут быть применены только к двум отношениям
обязательно с одной и той же схемой отношения. Результатом таких
бинарных операций будут являться отношения, состоящие из кортежей,
удовлетворяющих условиям операций, но с такой же схемой отношения, как и
у операндов.
1. Результатом операции объединения двух отношений r1(S) и r2(S) будет новое отношение r3(S), состоящее из тех кортежей отношений r1(S) и r2(S), которые принадлежат хотя бы одному из исходных отношений и с такой же схемой отношения.
Таким образом, пересечение двух отношений – это:
r3(S) = r1(S) ∪ r2(S) = {t(S) | t ∈r1 ∪t ∈r2};
Для наглядности, приведем пример в терминах таблиц:
Пусть даны два отношения:
r1(S): r2(S): Мы
видим, что схемы первого и второго отношений одинаковы, только имеют
различной количество кортежей. Объединением этих двух отношений будет
отношение r3(S), которому будет соответствовать следующая таблица: Итак, схема отношения S не изменилась, только выросло количество кортежей.
2. Перейдем к рассмотрению следующей бинарной операции – операции пересечения
двух отношений. Как мы знаем еще из школьной геометрии, в
результирующее отношение войдут только те кортежи исходных отношений,
которые присутствуют одновременно в обоих отношениях r1(S) и r2(S) (снова обращаем внимание на одинаковую схему отношения).
Операция пересечения двух отношений будет выглядеть следующим образом:
r4(S) = r1(S) ∩ r2(S) = {t(S) | t ∈ r1 & t ∈ r2};
И снова рассмотрим действие этой операции над отношениями, представленными в виде таблиц:
r1(S): r2(S): Согласно определению операции пересечением отношений r1(S) и r2(S) будет новое отношение r4(S), табличное представление которого будет выглядеть следующим образом: Действительно,
если посмотреть на кортежи первого и второго исходного отношений, общий
среди них только один: {b, 2}. Он и стал единственным кортежем нового
отношения r4(S).
3. Операция разности двух отношений определяется
аналогичным с предыдущими операциями образом. Отношения-операнды, так
же, как и в предыдущих операциях, должны иметь одинаковые схемы
отношения, тогда в результирующее отношение войдут все те кортежи
первого отношения, которых нет во втором, т. е.:
r5(S) = r1(S) \ r2(S) = {t(S) | t ∈ r1 & t ∉ r2};
Уже хорошо знакомые нам отношения r1(S) и r2(S), в табличном представлении выглядящие следующим образом:
r1(S): r2(S): Мы рассмотрим как операнды в операции пересечения двух отношений. Тогда, следуя данному определению, результирующее отношение r5(S) будет выглядеть следующим образом: Рассмотренные бинарные операции являются базовыми, на них основываются другие операции, более сложные.
| 
