Используя как основу рассмотренные ранее унарные
операции выборки, проекции, переименования и бинарные операции
объединения, пересечения, разности, декартова произведения и
естественного соединения (все они в общем случае называются операциями соединения),
мы можем ввести новые операции, выведенные с помощью перечисленных
понятий и определений. Подобная деятельность называется составлением вариантов операций соединения.
Первым таким вариантом операций соединения является операция внутреннего соединения по заданному условию соединения.
Операция внутреннего соединения по какому-то
определенному условию определяется как производная операция от операций
декартового произведения и выборки.
Запишем формульное определение этой операции:
r1(S1) × P r2(S2) = σ <P> (r1 × r2), S1 ∩ S2 = ∅;
Здесь P = P <S1 ∪ S2> –
условие, накладываемое на объединение двух схем исходных
отношений-операндов. Именно по этому условию и происходит отбор кортежей
из отношений r1 и r2 в результирующее отношение.
Следует отметить, что операция внутреннего соединения
может применяться к отношениям с разными схемами отношений. Эти схемы
могут быть любыми, но они ни в коем случае не должны пересекаться.
Кортежи исходных отношений-операндов, попавшие в результат операции внутреннего соединения, называются соединимыми кортежами.
Для наглядного иллюстрирования работы операции внутреннего соединения, приведем следующий пример.
Пусть нам даны два отношения r1(S1) и r2(S2) с различными схемами отношения:
r1(S1): r2(S2): Следующая таблица даст результат применения операции внутреннего соединения по условию P = (b1 = b2).
r1(S1) × P r2(S2): Итак,
мы видим, что действительно «слипание» двух таблиц, представляющих
отношения, произошло именно по тем кортежам, в которых выполняется
условие операции внутреннего соединения P = (b1 = b2).
Теперь на основании уже введенной операции внутреннего соединения мы можем ввести операцию левого внешнего соединения и правого внешнего соединения. Поясним.
Результатом операции левое внешнее соединение является
результат внутреннего соединения, пополненный несоединимыми кортежами
левого исходного отношения-операнда. Аналогично результат операции
правого внешнего соединения определяется как результат операции
внутреннего соединения, пополненный несоединимыми кортежами стоящего
справа исходного отношения-операнда.
Вопрос, чем же пополняются результирующие отношения
операций левого и правого внешнего соединения, вполне ожидаем. Кортежи
одного отношения-операнда дополняются на схеме другого
отношения-операнда Null-значениями.
Стоит заметить, что введенные таким образом операции
левого и правого внешнего соединения являются производными операциями от
операции внутреннего соединения.
Чтобы записать общие формулы для операций левого и правого внешнего соединений, проведем некоторые дополнительные построения.
Пусть нам даны два отношения r1(S1) и r2(S2) с различными схемами отношений S1 и S2, не пересекающимися друг с другом.
Так как мы уже оговаривали, что операции левого и
правого внутреннего соединения являются производными, то мы можем
получить следующие вспомогательные формулы для определения операции
левого внешнего соединения:
1) r3 (S2 ∪ S1) ≔ r1(S1) × Pr2(S2);
r 3 (S2 ∪ S1) — это просто результат внутреннего соединения отношений r1(S1) и r2(S2).
Левое внешнее соединение является производной операцией именно от
операции внутреннего соединения, поэтому мы и начинаем наши построения с
нее;
2) r4(S1) ≔ r 3(S2 ∪S1) [S1];
Таким образом, с помощью унарной операции проекции, мы выделили все соединимые кортежи левого исходного отношения-операнда r1(S1). Результат обозначили r4(S1) для удобства применения;
3) r5 (S1) ≔ r1(S1) \ r4(S1);
Здесь r1(S1) — все кортежи левого исходного отношения-операнда, а r4(S1) – его же кортежи, только соединимые. Таким образом, при помощи бинарной операции разности, в отношении r5(S1) у нас получились все несоединимые кортежи левого отношения-операнда; {∅(S2)} — это новое отношение со схемой (S2), содержащее всего один кортеж, причем составленный из Null-значений. Для удобства мы обозначили это отношение r6(S2);
5) r7 (S2 ∪ S1) ≔ r5(S1) × r6(S2);
Здесь мы взяли полученные в пункте три, несоединимые кортежи левого отношения-операнда (r5(S1)) и дополнили их на схеме второго отношения-операнда S2 Null-значениями, т. е. декартово умножили отношение, состоящее из этих самых несоединимых кортежей на отношение r6(S2), определенное в пункте четыре;
6) r1(S1) →× P r2(S2) ≔ (r1 × P r2) ∪ r7 (S2 ∪ S1);
Это и есть левое внешнее соединение, полученное, как можно видеть, объединением декартового произведения исходных отношений-операндов r1 и r2 и отношения r7 (S2 ∪ S1), определенного в пункте пятом.
Теперь у нас имеются все необходимые выкладки для
определения не только операции левого внешнего соединения, но по
аналогии и для определения операции правого внешнего соединения. Итак:
1) операция левого внешнего соединения в строгом формулярном виде выглядит следующим образом:
r1(S1) →× P r2(S2) ≔ (r1 × P r2) ∪ [(r1 \ (r1 × P r2) [S1]) × {∅(S2)}];
2) операция правого внешнего соединения определяется подобным образом операции левого внешнего соединения и имеет следующий вид:
r1(S1) →× P r2(S2) ≔ (r1 × P r2) ∪ [(r2 \ (r1 × P r2) [S2]) × {∅(S1)}];
Эти две производные операции имеют всего два свойства, достойные упоминания.
1. Свойство коммутативности:
1) для операции левого внешнего соединения:
r1(S1) →× P r2(S2) ≠ r2(S2) →× P r1(S1);
2) для операции правого внешнего соединения:
r1(S1) ←× P r2(S2) ≠ r2(S2) ←× P r1(S1)
Итак, мы видим, что свойство
коммутативности не выполняется для этих операций в общем виде, но при
этом операции левого и правого внешнего соединения взаимно обратны друг
другу, т. е. выполняется:
1) для операции левого внешнего соединения:
r1(S1) →× P r2(S2) = r2(S2) →× P r1(S1);
2) для операции правого внешнего соединения:
r1(S1) ←× P r2(S2) = r2(S2) ←× Pr1(S1).
2. Основным свойством операций левого и правого внешнего соединения является то, что они позволяют восстановить исходное отношение-операнд по конечному результату той или иной операции соединения, т. е. выполняются:
1) для операции левого внешнего соединения:
r1(S1) = (r1 →× P r2) [S1];
2) для операции правого внешнего соединения:
r2(S2) = (r1 ←× P r2) [S2].
Таким образом, мы видим, что первое
исходное отношение-операнд можно восстановить из результата операции
левого правого соединения, а если конкретнее, то применением к
результату этого соединения (r1 × r2) унарной операции проекции на схему S1, [S1].
И аналогично второе исходное отношение-операнд можно
восстановить применением к результату операции правого внешнего
соединения (r1 × r2) унарной операции проекции на схему отношения S2.
Приведем пример для более подробного рассмотрения работы
операций левого и правого внешних соединений. Введем уже знакомые нам
отношения r1(S1) и r2(S2) с различными схемами отношения:
r1(S1): r2(S2): Несоединимый кортеж левого отношения-операнда r2(S2)
– это кортеж {d, 4}. Следуя определению, именно им следует дополнить
результат внутреннего соединения двух исходных отношений-операндов.
Условие внутреннего соединения отношений r1(S1) и r2(S2) также оставим прежнее: P = (b1 = b2). Тогда результатом операции левого внешнего соединения будет следующая таблица:
r1(S1) →× P r2(S2): Действительно,
как мы можем видеть, в результате воздействия операции левого внешнего
соединения, произошло пополнение результата операции внутреннего
соединения несоединимыми кортежами левого, т. е. в нашем случае первого
отношения-операнда. Пополнение кортежа на схеме второго (правого)
исходного отношения-операнда по определению произошло при помощи
Null-значений.
И аналогично результатом правого внешнего соединения по тому же, что и раньше, условию P = (b1 = b2) исходных отношений-операндов r1(S1) и r2(S2) является следующая таблица:
r1(S1) ←× P r2(S2): Действительно,
в этом случае пополнять результат операции внутреннего соединения
следует несоединимыми кортежами правого, в нашем случае второго
исходного отношения-операнда. Такой кортеж, как не трудно видеть, во
втором отношении r2(S2) один, а
именно {2, y}. Далее действуем по определению операции правого внешнего
соединения, дополняем кортеж первого (левого) операнда на схеме первого
операнда Null-значениями.
И, наконец, рассмотрим третий вариант приведенных ранее операций соединения.
Операция полного внешнего соединения. Эту
операцию вполне можно рассматривать не только как операцию, производную
от операций внутреннего соединения, но и как объединение операций левого
и правого внешнего соединения.
Операция полного внешнего соединения определяется
как результат пополнения того же самого внутреннего соединения (как и в
случае определения левого и правого внешних соединений) несоединимыми
кортежами одновременно и левого, и правого исходных отношений-операндов.
Исходя из этого определения дадим формулярный вид этого определения:
r1(S1) ↔× P r2(S2) = (r1 →× P r2) ∪ ( r1 ←× P r2);
У операции полного внешнего соединения
также имеется свойство, сходное с аналогичным свойством операций левого и
правого внешних соединений. Только за счет изначальной взаимно-обратной
природы операции полного внешнего соединения (ведь она была определена
как объединение операций левого и правого внешних соединений) для нее
выполняется свойство коммутативности:
r1(S1) ↔× P r2(S2)= r2(S2) ↔ × P r1(S1);
И для завершения рассмотрения вариантов
операций соединения, рассмотрим пример, иллюстрирующий работу операции
полного внешнего соединения. Введем два отношения r1(S1) и r2(S2) и условие соединения.
Пусть
r1(S1) r2(S2): И пусть условием соединения отношений r1(S1) и r2(S2) будет: P = (b1 = b2), как и в предыдущих примерах.
Тогда результатом операции полного внешнего соединения отношений r1(S1) и r2(S2) по условию P = (b1 = b2) будет следующая таблица:
r1(S1) ↔× P r2(S2): Итак,
мы видим, что операция полного внешнего соединения наглядно оправдала
свое определение как объединения результатов операций левого и правого
внешних соединений. Результирующее отношение операции внутреннего
соединения дополнено одновременно несоединимыми кортежами как левого
(первого, r1(S1)), так и правого (второго, r2(S2)) исходного отношения-операнда.
| 
