Для произвольного выпуклого
четырёхугольника S = 1/2 d1d2 sin?. Если в четырёхугольник можно вписать
окружность, то суммы его противоположных сторон равны, a S = рr, где р –
полупериметр, r – радиус вписанной окружности.
Если около четырёхугольника можно описать окружность, то суммы противоположных углов равны по 180°.
Для правильного n-угольника: (R и r – радиусы описанной и вписанной окружностей, а – длина стороны правильного n-угольника).
Полезно также помнить, что в правильном шестиугольнике a6 = R.
Примеры решения задач
74. Сторона правильного шестиугольника равна 6. Найдите длину вписанной в него окружности (рис. 162). Рис. 162.
Решение.
В правильном шестиугольнике сторона равна радиусу описанной окружности.
Значит, треугольник АВО – правильный, угол АВО составляет 60°, a OB = R
= 6. Радиусы вписанной в правильный шестиугольник окружности
перпендикулярны его сторонам. В частности на рис. показано, что r ? АВ,
где r = ОР. Тогда из прямоугольного треугольника ОРВ имеем: Ответ: 75. Сколько
сторон имеет выпуклый многоугольник, у которого все углы равны, если
сумма его внешних углов с одним из внутренних равна 468°? (2)
Решение. Сумма внешних углов выпуклого
многоугольника равна 360°, сумма внутренних углов равна 180°(n – 2).
Величина угла в правильном n-угольнике равна Получаем уравнение: 180°(n – 2) = 108°n;
72°n = 360°; n = 5.
Ответ: 5.
Задачи для самостоятельного решения
76. Сторона правильного шестиугольника равна 14. Найдите сторону равновеликого ему правильного треугольника. (1)
77. В правильный треугольник вписана
окружность, а в неё – правильный шестиугольник. Найдите отношение
площадей треугольника и шестиугольника. (2)
78. Выпуклый четырёхугольник ABCD описан
вокруг окружности с центром в точке О, при этом АО = ОС = 1, ВО = OD =
2. Найти периметр четырёхугольника ABCD. (3)
|