Площадь параллелограмма со сторонами
а, b и углом ? между ними вычисляется по формуле S = absin ?. Можно
также воспользоваться формулой S = 1/2 d1d2 sin? где d1, d2 – длины
диагоналей, ? – угол между ними (или S = aha, где ha – высота). Если в
параллелограмм можно вписать окружность, то это ромб. Если около
параллелограмма можно описать окружность, то это прямоугольник.
Примеры решения задач
50. В параллелограмме сумма двух
противолежащих углов равна 132°. Найдите градусную меру каждого из углов
параллелограмма (рис. 151). Рис. 151.
Решение.
По условию задачи ?А + ?С = 132°. Но, так как в параллелограмме
противоположные углы равны, то ?А = ?С = 132°/2 = 66°. Учтём также, что
?А + ?В = ?С + ?D = 180°. Имеем:?В = ?D = 180° – 66° = 114°.
Ответ: 66°, 114°, 66°, 114°.
51. Одна
из диагоналей параллелограмма разбивает его на два равносторонних
треугольника со стороной а. Найдите длину другой диагонали (рис. 152). Рис. 152.
Решение. Раз ?ABD и ?BCD – равносторонние, то углы ?BAD = ?BCD = 60°, тогда ?ABC = 120°.
По теореме косинусов из треугольника ABC получаем: Ответ: 52. Найдите площадь параллелограмма, если его диагонали 3 и 5, а острый угол параллелограмма 60° (рис. 153). Рис. 153.
Решение.
Обозначим стороны параллелограмма: AD = а, АВ = b, ?BAD = 60°. BD = 3;
АС = 5. Очевидно, что ?ABC = 120°. По теореме косинусов из треугольников
ABD и АСВ имеем: Вычитая первое уравнение из второго, получим 2ab = 16. Тогда площадь будет равна: Ответ: Задачи для самостоятельного решения
53. В параллелограмме с периметром 32 см
проведены диагонали. Разность между периметрами двух смежных
треугольников равна 8 см. Найдите длины сторон параллелограмма.
54. В параллелограмме ABCD длина диагонали
BD, перпендикулярной стороне АВ, равна 6. Длина диагонали АС равна
2?22. Найдите длину стороны AD.
55. Параллелограмм ABCD, у которого АВ =
153, AD = 180, BE = 135 (BE – высота), разделен на три одинаковые по
площади фигуры прямыми, перпендикулярными AD. На каком расстоянии от
точки А находятся точки пересечения этих перпендикуляров с AD? | 
