Для прямоугольного треугольника с
катетами а, b и гипотенузой с, помимо общих формул, характерны следующие соотношения: (центр
окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на
середине гипотенузы); а = csin ? = ccos ? = btg? = bctg?.
Примеры решения задач
27. В прямоугольном треугольнике ABC, где угол АСВ = 90°, проведена высота CD. Известно, что угол СВА = 30°.
Найдите АВ/BD (рис. 139). Рис. 139.
Решение.
Пусть АВ = а; тогда из ?ABC получаем: АС = a/2 (катет, лежащий напротив
угла в 30°, равен половине гипотенузы). Далее, ?ACD = ?СВА = 30°, так
как эти углы имеют взаимноперпендикулярные стороны. Из ?ACD следует: Ответ: 4/3.
28. Периметр
прямоугольного треугольника равен 24 см, а его площадь равна 24 см2.
Найдите площадь описанного около треугольника круга (рис. 140). Рис. 140.
Решение. Пусть а, b – длины катетов треугольников. Тогда длина гипотенузы равна Периметр треугольника равен а площадь 1/2 аb. Получаем систему уравнений: Пусть 48х = 672:х = 14. а = 8; b = 6.
Так как центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы, то радиус окружности Ответ: 25? см2.
29. На
катете АС прямоугольного треугольника ABC как на диаметре построена
окружность, которая пересекает гипотенузу АВ в точке К. Найти площадь
треугольника СКВ, если длина катета AС равна b и величина угла ABC равна
? (рис. 141). Рис. 141.
Решение.
Пусть ABC – данный в условии задачи треугольник. Так как АС – диаметр
окружности, то угол СКА прямой и треугольник СКА прямоугольный.
Поскольку величина угла САК равна 90° – ?, то величина угла КСА равна ?.
Из прямоугольного треугольника СКА имеем, что СК = bcos ?. Из
прямоугольного треугольника СКВ находим ВК = СК ctg? = bcos ? ctg?. Но
тогда площадь треугольника СКВ равна Ответ: 30. В
треугольнике ABC угол А прямой, величина угла В равна 30°. В
треугольник вписана окружность, радиус которой равен ?3. Найти
расстояние от вершины С до точки N касания этой окружности с катетом АВ
(рис. 142). Рис. 142.
Решение.
Пусть ABC – прямоугольный треугольник, удовлетворяющий условию задачи.
Обозначим через О центр окружности, вписанной в этот треугольник, а
через M и N – точки касания этой окружности соответственно с катетами AС
и АВ. Поскольку радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен
касательной, то ОМ ? АС и ON ? АВ. Так как угол А прямой, то
четырёхугольник AMON – прямоугольник. Отсюда следует, что AM = ON = ?3 и
AN = OM = ?3. Рассмотрим треугольник ОМС. Это прямоугольный
треугольник, у которого ?ОСМ = 1/2 (?АСВ) = ?/6. Так как ОМ = ?3 то МС =
QM ? ctg ?/6 = 3. Но тогда AC = AM + МС = ?3 + 3. Из прямоугольного
треугольника ANC находим, что Ответ: Задачи для самостоятельного решения
31. В прямоугольном равнобедренном
треугольнике гипотенуза равна 12 см. Определите высоту треугольника,
опущенную из прямого угла.
32. В прямоугольном треугольнике ABC даны:
длина катета ВС, равная 36, и косинус угла ВАС, равный 8/17. Найдите
длину другого катета АС и площадь треугольника.
33. Площадь равностороннего треугольника,
построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, вдвое больше
площади последнего. Определите углы прямоугольного треугольника.
34. В прямоугольном треугольнике высота,
опущенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки длиной 9 и
16. Найдите радиус вписанной в треугольник окружности.
35. В треугольнике ABC угол ВАС прямой,
длины сторон АВ и ВС равны соответственно 1 и 2. Биссектриса угла ABC
пересекает сторону АС в точке L, G – точка пересечения медиан
треугольника ABC. Что больше, длина BL или длина BG?
36. На плоскости лежит равнобедренный
прямоугольный треугольник, у которого катеты имеют длину. Поворотом в
этой плоскости данного треугольника вокруг вершины его прямого угла на
угол 45° получается другой равнобедренный прямоугольный треугольник.
Найти площадь четырехугольника, являющегося общей частью этих двух
треугольников. |