Теорема Фалеса (а также теоремы Чевы и
Менелая) применяются в первую очередь тогда, когда в задаче даны
соотношения между отрезками. Очень часто при этом приходится проводить
дополнительный отрезок. Идеи использования теоремы Фалеса хорошо видны
на следующих примерах.
Примеры решения задач
102. Докажите, что медианы в треугольнике
делятся в отношении 2:1, считая от вершины (известная теорема школьного
курса математики).
Самый простой путь решения (рис. 173): Рис. 173.
Проведем
медианы AM и ВК, а также отрезок МТ, параллельный ВК. Имеем: т. к. ВМ =
МС, то КТ = ТС. Но тогда АК = КС = 2КТ и, значит, АО: ОМ = АК: КТ = 2,
что и требовалось доказать.
103. В
треугольнике ABC на стороне ВС взята точка М так, что MB = МС, а на
стороне АС взята точка К так, что АК = 3 ? КС. Отрезки ВК и АМ
пересекаются в точке О. Найдите AO/OM (рис. 174). Рис. 174.
Решение.
Обозначим длину отрезка КС через а, тогда АК = За. Проведём MP||ВК По
теореме Фалеса КР = РС = a/2. По теореме о пропорциональных отрезках
имеем: Ответ: 6.
104. В
треугольнике ABC на стороне АВ взята точка К так, что АК: ВК = 1:2, а
на стороне ВС взята точка L так, что CL: BL = 2:1. Пусть Q – точка
пересечения прямых AL и СК. Найти площадь треугольника ABC, если дано,
что площадь треугольника BQC равна 1 (рис. 175).
Рис. 175.
Решение. Проведём через точку L прямую LM параллельно прямой СК. Из подобия треугольников MBL и КВС следует, что Из подобия треугольников AKQ и AML находим: Кроме того, имеем следующие равенства: Ответ: 7/4.
Задачи для самостоятельной работы
105. ВМ: МС = 3:1, АК = КВ. Найдите: SAKO/SABC(рис. 176).
Рис. 176.
106. На сторонах АВ и АС треугольника ABC взяты точки M и N, такие, что AM/MB = CN/NA = 1/2.
Отрезки BN и СМ пересекаются в точке К. Найти отношения отрезков BK/KN и CK/KM. |