Если в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны.
Если около четырёхугольника можно описать окружность, то суммы противоположных углов равны 180°.
Примеры решения задач
127. Известно, что в трапецию ABCD с
основаниями AD и ВС можно вписать окружность и около неё можно описать
окружность, EF – её средняя линия. Известно, что АВ + CD + EF = 18.
Найдите периметр трапеции (рис. 188).
Рис. 188.
Решение. Так как в трапецию можно вписать окружность, то Поскольку около трапеции можно описать окружность, то АВ = CD. Пусть АВ = CD = а; тогда из (1) следует AD + ВС = 2а и По
условию АВ + CD + EF = 18; тогда с учетом (2) получаем: а + а + а = 18;
а = 6. Периметр трапеции PABCD = АВ + CD + AD + BC = 2(АВ + CD) = 4а =
24.
Ответ: 24.
128. Около
окружности с диаметром 15 см описана равнобедренная трапеция с боковой
стороной, равной 17 см. Найдите основания трапеции (рис. 189).
Рис. 189.
Решение. Очевидно, что высота трапеции равна диаметру окружности. Высота ВК = 15 см; из прямоугольного треугольника АВК Пусть
BС = х, тогда AD = 8 + х + 8 = х + 16. Так как в трапецию вписана
окружность, то AD + ВС = АВ + CD; х + 16 + х = 17 + 17; х = 9 см; AD = 9
+ 16 = 25 см.
Ответ: 9 см; 25 см.
Задачи для самостоятельного решения
129. Четырёхугольник ABCD описан около окружности с центром О. Найдите сумму углов АОВ и COD.
130. Определите площадь круга, вписанного в прямоугольную трапецию с основаниями а и b.
131. Длины боковых сторон трапеции равны 3
и 5. Известно, что в трапецию можно вписать окружность. Средняя линия
трапеции делит её на две части, отношение площадей которых равно 5/11.
Найдите длины оснований трапеции.
| 
