Создание математики — занятие мучительное и таинственное. Объект доказательства часто бывает ясен, но путь к доказательству теряется в тумане, и математик бредет наощупь, производя выкладки и опасаясь, что каждый шаг может увлечь ход рассуждений в совершенно неверном направлении. Кроме того, всегда существует возможность того, что пути к доказательству вообще не существует. Решив, что некоторое утверждение истинно, математик может годами пытаться доказать его, хотя в действительности это утверждение ложно. По существу, математик в этом случае пытается доказать невозможное.

 За всю историю математики лишь горстке математиков удалось избежать такого рода сомнений, которые страшили их коллег. Возможно, наиболее известным из математиков, не ведающих страха и упрека, был живший в XVIII веке математический гений Леонард Эйлер. Именно ему удалось совершить первый крупный прорыв к доказательству Великой теоремы Ферма. Эйлер обладал столь невероятной интуицией и такой обширной памятью, что, по преданию, мог держать в голове весь объем производимых вычислений, не прикасаясь пером к бумаге. Вся Европа называла его «прирожденным аналитиком», а французский академик Франсуа Араго сказал о нем: «Эйлер вычислял без видимых усилий, как люди дышат или как орлы парят в поднебесье».

Леонард Эйлер родился в Базеле в 1705 году в семье кальвинистского пастора Пауля Эйлера. Хотя юный Эйлер проявил недюжинный математический талант, его отец решил, что сын должен изучать теологию, и готовил ему церковную карьеру. Леонард повиновался отцовской воле и стал изучать теологию и древнееврейский язык в Базельском университете.

К счастью для Эйлера, Базель был родиной знаменитого клана Бернулли. Бернулли могли бы с полным основанием претендовать на звание самого математического рода: восемь представителей семьи Бернулли принадлежали к числу самых выдающихся умов Европы на протяжении всего лишь трех поколений. Говорили, что семья Бернулли стала для математики тем же, чем семья Баха была для музыки. Слава рода Бернулли распространилась за пределы математического сообщества, и одна легенда ярко рисует «профиль» семейства. Однажды Даниил Бернулли путешествовал по Европе и вступил в беседу с незнакомцем. Спустя какое-то время он скромно представился своему собеседнику: «Я — Даниил Бернулли». «А я, — саркастически ответил тот, — Исаак Ньютон». Даниил охотно вспоминал этот случай несколько раз, считая его самым искренним признанием своих заслуг, которое ему когда-либо довелось получать.

Даниил и Николай Бернулли были близкими друзьями Леонарда Эйлера, и они первыми поняли, что на их глазах происходит превращение блестящего математика в самого заурядного теолога. Они обратились к Паулю Эйлеру и упросили его разрешить Леонарду оставить теологию ради чисел. Эйлер-старший сам в прошлом изучал математику у старшего Бернулли, Якоба, и испытывал к семье Бернулли глубочайшее почтение. С большой неохотой Пауль Эйлер был вынужден признать, что его сын рожден не для молитв, а для вычислений.

Вскоре Леонард Эйлер покинул Швейцарию, сменив родной Базель на дворцы Берлина и Санкт-Петербурга, где он и провел бóльшую часть своей творческой жизни. В эпоху Ферма математиков считали любителями жонглировать числами, но к началу XVIII века их уже рассматривали как профессиональных «решателей задач». Культура чисел резко изменилась, и произошло это отчасти благодаря сэру Исааку Ньютону и его научным результатам.

Ньютон полагал, что математики лишь впустую тратят время, поддразнивая друг друга пустыми и никчемными задачами-головоломками. Вместо этого он вознамерился применять математику к физическому миру и вычислять все, что только можно, — от орбит планет до траекторий пушечных ядер. К тому времени, когда Ньютон умер (это произошло в 1727 году), в Европе произошла научная революция. В тот же год Эйлер опубликовал свою первую работу. И хотя она содержала изящные и свежие математические идеи, ее главная цель состояла в описании решения одной технической проблемы, связанной с постановкой мачт на парусных кораблях.

Европейские державы не были заинтересованы в использовании математики для изучения эзотерических и абстрактных понятий; математика была им необходима для решения практических проблем, и правительства состязались в привлечении к себе на службу лучших умов. Эйлер начал свою математическую карьеру в России, затем его пригласил в Берлинскую академию король Пруссии Фридрих Великий. В царствование Екатерины Великой Эйлер вернулся в Россию, где он и провел последние годы жизни. За годы своей деятельности Эйлер решил множество задач из самых различных областей — от навигации до финансов, от акустики до ирригации. Практический мир решения насущных проблем не притупил математические способности Эйлера. Наоборот, для решения каждой новой проблемы Эйлер изобретал новый остроумный математический подход. Столь «односторонняя» направленность его ума приводила к тому, что в иной день Эйлеру случалось писать по несколько работ. Рассказывают, что между первым и вторым приглашением к обеденному столу Эйлер как-то раз попытался выполнить вычисления, заслуживающие публикации. Эйлер не терял ни минуты. Укачивая одной рукой младенца в колыбели, он другой рукой набрасывал доказательство теоремы.

Одним из величайших достижений Эйлера стала разработка алгоритмического мышления. Отличительная особенность эйлеровских алгоритмов состояла в том, что они предназначались для решения проблем, казавшихся неразрешимыми. Одной из таких проблем было высокоточное предсказание фаз Луны — информация о фазах Луны имела жизненно важное значение для составления таблиц, необходимых для мореплавания. Еще Ньютон показал, что можно сравнительно легко предсказывать орбиту одного тела, обращающегося вокруг другого, но в случае Луны ситуация не столь проста.

Луна обращается вокруг Земли, но третье тело — Солнце — существенно усложняет картину. Земля и Луна притягивают друг друга, а Солнце возмущает положение Земли и сталкивает Луну с ее идеальной орбиты вокруг Земли. Уравнения позволяли описать поведение Земли и Луны, но математики XVIII века не умели учитывать в своих вычислениях влияние третьего тела. Даже сегодня невозможно предсказать, как будет вести себя точное решение этой задачи (класс таких задач называется «задачей трех тел»). Эйлер понял, что мореплавателям нет необходимости знать фазу Луны с абсолютной точностью — вполне достаточно такой точности, которая позволяет определить положение судна с точностью до нескольких морских миль. И он разработал рецепт, позволяющий получать не идеальное, а достаточно точное решение. Такой рецепт, называемый алгоритмом, позволяет получить сначала весьма приближенное, грубое решение. Затем это решение можно ввести в качестве исходных данных в тот же алгоритм и получить уже более точное решение. В свою очередь, уточненное решение, если его также ввести в алгоритм, порождает еще более точное решение, и т. д. После ста или около того итераций Эйлер получил возможность определить положение Луны с точностью, достаточной для нужд мореплавания. Свой алгоритм Эйлер представил британскому Адмиралтейству и получил награду в триста фунтов стерлингов.

Эйлер заслужил репутацию человека, способного решить любую поставленную ему задачу, причем не только математическую. В бытность свою при дворе Екатерины Великой он встретил великого французского философа Дени Дидро. Тот был убежденным атеистом и пытался обратить в атеизм представителей русской знати. Разгневанная этим Екатерина обратилась к Эйлеру с просьбой пресечь деятельность французского безбожника.

Эйлер поразмыслил над просьбой императрицы и объявил, что располагает алгебраическим доказательством существования Бога. Екатерина Великая пригласила Эйлера и Дидро во дворец и собрала на теологический спор всех придворных. Эйлер встал перед аудиторией и заявил:

Дидро не был силен в алгебре и не мог ничего возразить величайшему математику Европы. Ему оставалось только безмолвствовать. Потерпев унизительное поражение, он покинул Санкт-Петербург и вернулся в Париж. Эйлер же на какое-то время вернулся к занятиям теологией и опубликовал еще несколько шутливых доказательств относительно природы Господа Бога и человеческого духа.

Более «земная» задача, привлекшая внимание Эйлера, большого любителя головоломных проблем, связана с прусским городом Кёнигсбергом (ныне — российский город Калининград). Город стоит на берегах реки Прегили и состоит из четырех частей, соединенных между собой семью мостами. План города схематически изображен на рис. 7. Некоторые из любопытных жителей Кенигсберга заинтересовались, можно ли обойти все семь мостов, не переходя ни по одному из них дважды. Кое-кто из обитателей Кенигсберга попытался проложить различные маршруты, но ничего хорошего из этого не вышло. Эйлеру также не удалось обойти все семь кёнигсбергских мостов, побывав на каждом только один раз, но зато он сумел объяснить, почему сделать это невозможно.

Рис. 7. Река Прегиль делит Кёнигсберг на четыре несвязанные части A, B, C и D. Различные части города соединены между собой семью мостами. Можно ли обойти все семь мостов побывав на каждом один и только один раз?

 Рис. 8. Упрощенная схема семи кёнигсбергских мостов

Эйлер взял план города и заменил его упрощенной схемой, на которой части города изображены точками (узлами), а мосты — линиями (ребрами), как на рис. 8. Затем Эйлер стал рассуждать так. Чтобы существовал маршрут, позволяющий обойти ровно по одному разу все мосты, каждая точка на схеме должна принадлежать четному числу линий. Это связано с тем, что в середине обхода путешественник, проходя какую-то из частей города, должен войти в нее по одному мосту, а выйти — по другому. Из этого правила существуют лишь два исключения: когда путешественник начинает или завершает обход. В самом начале обхода путешественник покидает некую часть города, и для выхода из нее необходим только один-единственный мост. Если обход начинается и заканчивается в различных частях города, то число мостов, ведущих к каждой из них нечетно. Но если обход начинается и заканчивается в одной и той же части города, то соответствующая ей точка на схеме, как и все другие точки, должна принадлежать четному числу линий (т. е. эта часть города должна быть соединена с другими частями четным числом мостов).

Таким образом, заключил Эйлер, какой бы ни была сеть мостов, обойти все мосты, побывав на каждом по одному и только одному разу, можно только в том случае, если все части города соединены с другими четным числом мостов или если ровно две части города соединены с другими частями нечетным числом мостов. В Кенигсберге город подразделяется всего на четыре части, — и все они соединены с другими частями нечетным числом мостов. На схеме Кенигсберга три точки принадлежат трем линиям, а одна — пяти линиям. Тем самым Эйлер не только сумел объяснить, почему все семь кёнигсбергских мостов невозможно обойти, побывав на каждом один и только один раз, но и придумал правило, применимое к любой сети мостов в любом городе мира. Рассуждения Эйлера отличаются замечательной красотой. По-видимому, такого сорта логические задачи Эйлер и любил решать за обедом.

Задача о семи кёнигсбергских мостах принадлежит к числу так называемых задачах о графах в прикладной математике. Именно она побудила Эйлера к рассмотрению более абстрактных графов. В ходе своих исследований Эйлер открыл фундаментальную истину, относящуюся ко всем графам, — так называемую формулу Эйлера для графов, которую ему удалось доказать за несколько логических шагов. Формула Эйлера для графов выражает незыблемое соотношение между тремя элементами любой графа:

V — R + L = 1,

где

V — число вершин (узлов, или пересечений) в графе,

R — число линий (ребер) в графе,

L — число замкнутых областей в графе.

Таким образом, по утверждению Эйлера, если к числу вершин любого графа прибавить число замкнутых областей и вычесть число его ребер — результат всегда окажется равен единице. Например, все графы на рис. 9 удовлетворяют формуле Эйлера.

 Вершины  = 4

Области = 3

Линии = 6

 Вершины  = 6

Области = 1

Линии = 6

 Вершины  = 5

Области = 10

Линии= 6

Рис. 9. Различные графы, удовлетворяющие формуле Эйлера

Рис. 10. Эйлер доказал свою формулу для графов, продемонстрировав, что она выполняется для простейшего графа, а затем показав, что формула остается верной при любых «дополнениях» к единственной вершине

Можно проверить формулу Эйлера на целой серии графов, и всякий раз она оказывается верной; возникает искушение предположить, что формула Эйлера верна для всех графов. И хотя такой проверки было бы достаточно для физической теории, для обоснования математической теории ее совершенно недостаточно. Единственный способ показать, что формула Эйлера остается в силе для любого мыслимого графа, — построить безупречное с точки зрения логики доказательство. Именно так и поступил Эйлер.

Свое доказательство Эйлер начал с простейшего из графов — с графа, состоящего из одной единственной вершины (рис. 10а). Ясно, что для такого графа формула Эйлера верна: имеется всего одна вершина, линий и областей нет, поэтому

V + R — L = 1 + 0–0 = 1.

Затем Эйлер рассмотрел вопрос о том, что произойдет в том случае, если он что-нибудь добавит к этому простейшему графу. Любое добавление к нему требует добавления линии. Любая линия может соединять существующую вершину либо с самой собой, либо с какой-нибудь новой вершиной.

Во-первых, рассмотрим случай, когда дополнительная линия соединяет существующую вершину с самой собой. Как видно из рис. 10б, при добавлении линии в этом случае добавляется также новая область. Следовательно, формула Эйлера для графов остается в силе, так как добавление одной области (+) компенсируется добавлением одной линии (—). При добавлении новых линий того же типа формула Эйлера для графов также останется в силе, так как каждая новая линия порождает новую область.

Во-вторых, рассмотрим, что произойдет, если дополнительная линия соединит существующую вершину с новой вершиной, как на рис. 10в. И в этом случае формула Эйлера остается в силе, так как новая вершина (+) компенсирует новую линию (—). При добавлении новых линий того же типа формула Эйлера также остается в силе, поскольку каждая дополнительная линия рассматриваемого типа заканчивается в новой вершине.

Вот и все, что требовалось Эйлеру для его доказательства. Он рассуждал так. Формула верна для простейшего из всех графов — одной-единственной вершины. Все остальные графы, сколь бы сложными они ни были, могут быть построены из простейшего путем прибавления линий — по одной линии за один раз. Всякий раз при добавлении к графу новой линии формула остается верной, потому что вместе с линией добавляется либо новая вершина, либо новая область, и тем самым компенсируется добавление линии. Эйлер разработал простую, но мощную стратегию. Он доказал, что его формула верна для простейшего графа, состоящего из одной-единственной вершины, и что любая операция, приводящая к усложнению графа, не нарушает формулу для графов. Следовательно, формула верна для бесконечного множества всех возможных графов.

Впервые столкнувшись с Великой теоремой Ферма, Эйлер, должно быть, понадеялся на то, что ему удастся найти доказательство, если он будет придерживаться аналогичной стратегии. Великая теорема Ферма и формула Эйлера для графов уходят своими корнями в весьма различные области математики, но одна особенность у них была общей: они обе нечто утверждали относительно бесконечно многих объектов. Формула Эйлера утверждает, что для бесконечно многих графов, которые только существуют на свете, число вершин плюс число областей минус число линий всегда равно единице. Великая теорема Ферма утверждает, что бесконечно много уравнений не допускают решения в целых числах. Напомним, что теорема Ферма утверждает следующее: уравнение

xⁿ + yⁿ = zⁿ, где n — любое целое число большее 2,

не допускает решения в целых числах.

Это уравнение в действительности представляет собой бесконечную систему уравнений

x³ + y³ = z³,

x⁴ + y⁴ = z⁴,

x⁵ + y⁵ = z⁵,

x6 + y⁶ = z⁶,

x⁷ + y⁷ = z⁷,

. . . . . .

Эйлер попытался выяснить, нельзя ли доказать, что одно из уравнений не допускает решений в целых числах, а затем экстраполировать полученный результат на все остальные уравнения (точно так же, как он доказал свою формулу для всех графов).

Первый шаг к осуществлению задуманного Эйлер совершил, когда обнаружил ключ к доказательству в кратких записях на полях «Арифметики» Диофанта. Хотя Ферма не оставил развернутого доказательства Великой теоремы, он в другом месте того же экземпляра «Арифметики» написал в зашифрованном виде доказательство для случая n=4, включив его в решение совершенно другой задачи. Это были самые подробные вычисления, которые Ферма когда-либо доверил бумаге, но всё же детали всё ещё были обрывочны и расплывчаты, а в заключение доказательства Ферма ссылается на то, что недостаток времени и места не позволяют ему дать более полное объяснение. Несмотря на отсутствие многих важных деталей в беглых заметках Ферма, в них отчетливо просматривался один из способов доказательства от противного, известный под названием метода бесконечного спуска.

Чтобы доказать, что уравнение x⁴ + y⁴ = z⁴ не допускает решения в целых числах, Ферма начал с предположения о существовании гипотетического решения в целых числах

x = X₁, y = Y₁, z = Z₁.

При изучении свойств чисел (X₁, Y₁, Z₁) Ферма показал, что если бы такое гипотетическое решение действительно существовало, то существовало бы меньшее решение (X₂, Y₂, Z₂). Рассматривая это новое решение, Ферма смог показать, что если бы оно существовало, то существовало бы еще меньшее решение (X₃, Y₃, Z₃) и т. д.

Ферма обнаружил нисходящую лестницу решений, которая теоретически могла бы продолжаться неограниченно, порождая все меньшие и меньшие решения. Но x, y и z должны быть целыми положительными (так называемыми натуральными) числами, поэтому нескончаемая нисходящая лестница невозможна, потому что должно быть наименьшее целочисленное решение. Полученное противоречие доказывает, что начальное предположение о существовании решения (X₁, Y₁, Z₁) было ложным. Итак, используя метод бесконечного спуска, Ферма доказал, что при n=4 уравнение xⁿ + yⁿ = zⁿ не может иметь целочисленных решений.

Эйлер попытался воспользоваться методом бесконечного спуска в качестве исходного пункта при построении общего доказательства для всех других степеней в уравнении Ферма. Он хотел получить доказательство для всех n вплоть до бесконечности, но прежде всего он хотел «опуститься на одну ступень» и получить доказательство при n=3. В письме к прусскому математику Христиану Гольдбаху в августе 1753 года Эйлер сообщил, что ему удалось приспособить метод бесконечного спуска и успешно доказать Великую теорему Ферма для случая n=3. Так через сто лет после смерти Ферма впервые удалось сделать первый шаг на пути к решению его проблемы.

Чтобы распространить предложенное Ферма доказательство со случая n=4 на случай n=3, Эйлеру пришлось ввести в игру довольно причудливое понятие так называемого мнимого числа — величины, открытой европейскими математиками в XVI веке. Говорить о новых числах, что они были «открыты» довольно странно, но ощущение необычности возникает главным образом потому, что мы настолько привыкаем к постоянно и широко используемым числам, что забываем о временах, когда некоторые из этих чисел не были известны. И отрицательные, и иррациональные — все эти числа в свое время приходилось открывать, и мотивация в каждом случае сводилась к необходимости решить задачу, неразрешимую в уже известных числах.

История теории чисел начинается с обыкновенных чисел, используемых для счета — 1,2,3…, — известных под названием натуральных чисел. Эти числа идеально подходят для сложения простых целых величин, таких, как овцы или золотые монеты, чтобы узнать, сколько всего таких величин — их общее количество также есть целое число. Наряду со сложением еще одна простая операция, умножение, производимая над целыми числами, также порождает другие целые числа. Но операция деления приводит к довольно неприятной проблеме. При делении числа 8 на 2 мы получаем 4, но при делении числа 2 на 8 ответ получается равным 1/4. Результатом деления в последнем случае является не целое число, а дробь.

Деление — простая операция, выполняемая над натуральными числами — вынуждает нас выйти за пределы натуральных чисел. Для математика, по крайней мере, теоретически, немыслима ситуация, в которой нет ответа на вопрос, чему равен результат простой операции, производимой над целыми числами. Необходимость существования ответа называется полнотой. Не будь дробей, некоторые вопросы относительно целых чисел остались бы без ответа. Математики выражают это обстоятельство, говоря, что дроби необходимы для полноты.

Именно необходимость полноты вынудила индийских математиков открыть отрицательные числа. Индийские математики заметили, что если 3 вычесть из 5, то получится 2, а 5 вычесть из 3 не так просто. Ответ не мог быть получен в натуральных числах и понять его можно, только если ввести понятие отрицательного числа. Некоторые математики не приняли столь абстрактного обобщения натурального числа и отзывались об отрицательных числах как «нелепых» и «фиктивных». Пересчитывая золотые монеты, можно подержать в руке одну монету или даже полмонеты, но взять в руку «минус одну» монету решительно невозможно.

Древние греки были обуяны стремлением к полноте, и эта страсть привела их к открытию иррациональных чисел. В главе 2 мы уже обсуждали квадратный корень из 2. Греки знали, что это число приближенно равно 7/5, но когда они попытались найти точную дробь, равную √2, то обнаружили, что такой дробь не существует. Перед ними было число, не представимое в виде дроби, но этот новый тип числа был необходим, чтобы ответить на вопрос: «Чему равен квадратный корень из двух?» Требование полноты означало, что к империи чисел необходимо присоединить еще одну колонию.

К наступлению эпохи Возрождения математики стали думать, что открыли все мыслимые «сорта» чисел на свете. Все числа можно было считать расположенными на числовой оси в обе стороны прямой с нулем в центре, как на рис. 11. Целые числа располагались на числовой оси через равные промежутки, положительные простирались до плюс бесконечности справа от нуля, отрицательные — до минус бесконечности слева от нуля. Дроби располагались в промежутках между целыми числами, а иррациональные числа заполняли пробелы между дробями.

 Рис. 11. Все числа можно расположить на числовой оси, простирающейся до бесконечности в обе стороны

Числовая ось наводила на мысль о том, что полнота достигнута. Все числа находились на своих местах, готовые ответить на все математические вопросы, — во всяком случае на числовой оси не оставалось свободных мест ни для каких новых чисел. Но в XVII веке снова начались неприятности. Итальянский математик Рафаэлло Бомбелли, занимаясь изучением квадратных корней из различных чисел, столкнулся с вопросом, не имевшим готового ответа.

Все началось с вопроса: «Чему равен квадратный корень из единицы, т. е. число √1?» Очевидный ответ гласит: единице, так как 1·1=1. Менее очевиден другой ответ: квадратный корень из единицы равен минус единице, т. е. числу –1. Отрицательное число при умножении на отрицательное число, дает положительное, в частности, (–1)·(–1) = 1. Следовательно, квадратный корень из +1 имеет два значения: +1 и –1. Такое обилие ответов само по себе превосходно, но сразу же возникает другой вопрос: «Чему равен квадратный корень из минус единицы, т. е. √–1?» Кажется, что этот вопрос не имеет ответа. Ни +1, ни –1 не годятся в качестве ответа — оба числа в квадрате дают +1. Но никаких других «кандидатов» не видно. Между тем полнота требует, чтобы мы умели отвечать и на вопрос о том, чему равен квадратный корень из –1.

Чтобы ответить на этот вопрос, Бомбелли пришлось ввести новое число i, определив его просто как ответ на вопрос: «Чему равен квадратный корень из минус единицы?». На первый взгляд может показаться, что ввод i — малодушная попытка обойти решение проблемы, но предпринятый Бомбелли ход ничем не отличается от того, как были введены отрицательные числа. Столкнувшись с неразрешимой при ином подходе задачей, индийские математики определили число –1 как ответ на вопрос: «Что получится, если от нуля отнять единицу?». Число –1 кажется более приемлемым только потому, что из повседневного опыта нам знакомо аналогичное понятие «долга», в то время как в реальном мире нет ничего, что подкрепляло бы понятие мнимого числа. Немецкий математик XVII века Готтфрид Лейбниц дал следующее изящное описание необычайной природы мнимого числа: «Мнимое число — это бестелесное и преудивительное прибежище Божественного духа, почти амфибия между бытием и небытием».

Коль скоро мы определили число i как квадратный корень из –1, то должно существовать число 2i, так как оно равно сумме i плюс i (а также квадратному корню из –4). Аналогично, должно существовать и число i/2, так как оно получается при делении i на 2. Выполняя простые операции, можно получить мнимый эквивалент каждого так называемого действительного числа. Существуют мнимые натуральные числа, мнимые отрицательные числа, мнимые дроби и мнимые иррациональные числа. Проблема, которая теперь возникает, заключается в том, что у всех этих мнимых чисел нет своего естественного места на действительной числовой оси. Математики разрешили возникший кризис, введя еще одну — мнимую — ось, перпендикулярную действительной оси и пересекающую ее в нуле, как показано на рис. 12. Числа перестали занимать одномерную прямую, а расположились на двумерной плоскости. Чисто мнимые или чисто действительные числа заполняют соответствующие оси — действительную и мнимую, а комбинации действительного и мнимого чисел (например, 1+2i) называются комплексными числами и обитают на так называемой числовой плоскости.

 Рис. 12. Введение оси для мнимых чисел превращает числовую ось в числовую плоскость. Каждой комбинации действительного и мнимого чисел соответствует определенная точка на числовой плоскости

Особенно замечательно, что в комплексных числах решается любое алгебраическое уравнение. Например, чтобы вычислить √3+4i, математикам не нужно изобретать числа нового типа: оказывается, что ответ равен 2+i, т. е. другому комплексному числу. Иначе говоря, создается впечатление, что мнимые числа — последний элемент, необходимый для завершения математики.

Хотя квадратные корни из отрицательных чисел получили название мнимых чисел, математики считают число i ничуть не более абстрактным, чем отрицательное или любое натуральное число. Кроме того, физики обнаружили, что мнимые числа дают лучший язык для описания некоторых явлений, протекающих в реальном мире. С помощью нехитрых манипуляций мнимые числа оказываются идеальным средством анализа естественного колебательного движения объектов, например, маятника. Такое колебательное движение, называемое на техническом языке синусоидальным колебанием, широко распространено в природе, и поэтому мнимые числа стали неотъемлемой составной частью многих физических расчетов. В наше время инженеры-электрики приспособили i к анализу переменных токов, а физики-теоретики вычисляют различные квантовомеханические эффекты с помощью осциллирующих волновых функций, суммируя степени мнимых чисел.

В чистой математике мнимые числа используют для решения задач, ранее казавшихся неразрешимыми. Мнимые числа буквально добавили новое измерение к математике, и Эйлер надеялся, что ему удастся использовать эту дополнительную степень свободы в поисках доказательства Великой теоремы Ферма.

И до Эйлера некоторые математики уже пытались приспособить метод бесконечного спуска Ферма для решения уравнения Ферма в целых числах при n, отличных от 4, но всякий раз попытка распространить метод приводила к каким-нибудь проблемам в логике. И только Эйлер показал, что, используя число i, можно заткнуть все дыры в доказательстве и заставить метод бесконечного спуска работать при n=3.

Это было грандиозное достижение, но повторить успех при других значениях n Эйлеру не удалось. К сожалению, все попытки применить те же рассуждения к другим значениям вплоть до бесконечности закончились провалом. И математик, решивший больше задач, чем кто-либо другой за всю историю, был вынужден признать поражение — Великая теорема Ферма оставалась неприступной. Единственным утешением для Эйлера было то, что он осуществил первый серьезный прорыв в «круговой обороне» труднейшей математической проблемы в мире.

Не обескураженный постигшей его неудачей, Эйлер продолжал создавать блестящие математические методы до конца своих дней, несмотря на то, что последние годы его жизни были омрачены полной слепотой. Эйлер начал слепнуть в 1735 году, когда Академия в Париже предложила премию за решение одной астрономической проблемы. Эта проблема была столь трудна, что математическое сообщество обратилось к Академии с просьбой дать на решение несколько месяцев, но Эйлеру отсрочка не была нужна. Задача настолько захватила его, что он, работая дни и ночи напролет, решил ее за трое суток и заслуженно получил премию. Но напряженнейшая работа в плохих условиях стоила Эйлеру, которому тогда едва исполнилось двадцать лет, потери одного глаза. Этот физический недостаток отчетливо виден на многих портретах Эйлера, в том числе и на том, который помещен в начале этой главы.

По совету Жана Лерона д'Аламбера Эйлера при дворе Фридриха Великого сменил Жозеф Луи Лагранж, по поводу чего прусский король позже заметил: «Вашим заботам и рекомендациям я обязан тому, что заменил математика, слепого на один глаз, математиком, зрячим на оба глаза, что особенно придется по вкусу членам моей Академии по разряду анатомии». По возвращении Эйлера в Россию Екатерина Великая приветствовала своего «математического циклопа».

Потеря одного глаза имела небольшой «плюс»: как заметил Эйлер, «у меня будет меньше возможностей отвлекаться». Сорок лет спустя, когда Эйлеру было уже шестьдесят, его состояние значительно ухудшилось: катаракта на здоровом глазе означала, что он обречен на полную слепоту. Эйлер решил не поддаваться болезни и начал тренироваться — зажмурив глаз, который видел все хуже и хуже, стал учиться писать вслепую, чтобы овладеть этим искусством прежде, чем свет навсегда померкнет для него. Через несколько недель Эйлер ослеп. Тренировка оказалась весьма кстати, но через несколько месяцев почерк Эйлера стал неразборчивым, и его сын Альберт взял на себя роль личного секретаря отца.

На протяжении следующих семнадцати лет Эйлер продолжал активно заниматься математикой. Более того, его производительность возросла, как никогда прежде. Огромный интеллект Эйлера позволял ему манипулировать понятиями, не фиксируя их на бумаге, а феноменальная память служила полноценной заменой библиотеки. Коллеги даже высказывали предположение, что наступление слепоты расширило горизонты его воображения. Следует заметить, что вычисления положений Луны были выполнены Эйлером уже после наступления слепоты. Для европейских монархов составленные Эйлером таблицы были самым ценным математическим достижением, и решением проблемы, над которой трудились величайшие математики Европы, включая Ньютона.

В 1776 году Эйлеру была сделана операция по удалению катаракты, и на несколько дней зрение, казалось, восстановилось. Но в больной глаз была занесена инфекция, и Эйлер снова погрузился во тьму. Не теряя бодрости духа, он продолжал работать до 18 сентября 1783 года, когда произошел роковой апоплексический удар. По словам математика и философа маркиза де Кондорсэ, «Эйлер перестал жить и вычислять».