Гамильтон родился в Дублине, в семье юриста. Из-за финансовых затруднений с трёх лет его воспитывал дядя по отцу, Джеймс Гамильтон, викарий и учитель в городе Трим.

Уже в детстве мальчик проявил необыкновенные дарования. В 7 лет он знал древнееврейский язык; в 12 — под руководством дяди Джеймса, хорошего лингвиста, знал уже 12 языков и среди них персидский, арабский и санскрит. В 13 лет он написал руководство по сирийской грамматике.

После языков настала пора увлечения математикой. Двумя годами раньше Гамильтону попался латинский перевод «Начал» Евклида, и он детально изучил это сочинение; в 13 лет он прочел «Универсальную арифметику» Ньютона; в 16 лет — большую часть «Математических начал натуральной философии» Ньютона, в 17 лет — начал изучение «Небесной механики» Лапласа.

1823: поступил в Тринити-колледж в Дублине. Он показал столь блестящие способности, что в 1827 году, ещё студентом, был назначен профессором астрономии в Дублинском университете и королевским астрономом Ирландии. Публикует ряд работ по геометрической оптике.

1833: женится на Хелен Бэйли. Брак оказался не слишком удачным, и Гамильтон начал злоупотреблять алкоголем

1834—1835: классические работы по гамильтоновой механике.

1835: вице-король Ирландии возвёл Гамильтона в достоинство баронета.

1837: избран президентом Королевской ирландской академии и членом-корреспондентом Петербургской академии наук.

1843: открывает кватернионы и углубляется в их исследование.

В конце жизни Гамильтон заболел душевным расстройством.

Научный вклад

Его сочинения носят печать гениальности, и можно сказать, что он далеко опередил своих современников.

Первая из его замечательных работ, озаглавленная сначала «Caustics», была представлена в 1823 году доктору Бринклею, его предшественнику по кафедре, потом, после больших дополнений и разъяснений, напечатана в 1828 году в «Transactions of the Royal Irish Academy» под заглавием «Theory of Systems of Rays». После в тех же записках появились три дополнения к этой статье, в третьем из которых было теоретически доказано, что двупреломляющие кристаллы с двумя оптическими осями должны обладать коническим лучепреломлением по направлениям осей. Эксперимент в Тринити-колледже подтвердил это предсказание.

Содержательный мемуар «On a general method in Dynamics», помещенные в «Philosophical Transactions» в 1834—1835 годах, заключает в себе самые важные открытия по механике и теории интегрирования систем дифференциальных уравнений, развитые потом Якоби. В этой работе Гамильтон привел систему дифференциальных уравнений (второго порядка) движущейся материальной системы к удвоенному числу дифференциальных уравнений первого порядка, представленных в каноническом виде, и открыл новый метод получения решения этих уравнений, заключающийся в том, что нужно найти полный интеграл некоторого дифференциального уравнения с частными производными первого порядка и тогда искомые решения составятся по некоторым общим формулам без каких бы то ни было интегрирований.

Этот же мемуар указал возможность получения дифференциальных уравнений движения, исходя из нового принципа, названного принципом Гамильтона (см. Гамильтонова механика), являющегося развитием принципа наименьшего действия, установленного ранее Мопертюи, Эйлером и Лагранжем. Созданная им гамильтонова динамика оказалась в XX веке фундаментом теории микромира.

Гамильтону же принадлежит введение в механику особого наглядного приема изображения изменений величин и направлений скорости точки, совершающей какое-либо прямо— или криволинейное движение (см. Годограф).

1837: аксиоматическая теория комплексных чисел как пар вещественных.

В 1840-е годы английская школа математиков упорно пыталась найти расширение поля комплексных чисел с несколькими мнимыми единицами. Только много позже было доказано, что такое расширение не может быть полем — оно либо некоммутативно, либо неассоциативно, либо содержит делители нуля. Первым добился успеха Гамильтон — открыл кватернионы, некоммутативную числовую структуру с тремя мнимыми единицами (1843). Следующие 20 лет он посвятил их подробному исследованию и приложениям.

В ходе исследований Гамильтон попутно ввёл понятие векторного поля и создал основы векторного анализа. Он открыл векторное произведение, предложил оператор «набла». На основе работ Гамильтона Гиббс и Хевисайд завершили систему векторного анализа.

Интересно отметить, что оба главных открытия Гамильтона — новая формулировка механики и кватернионы — сыграли существенную роль в XX веке при возникновении квантовой механики, причем эта роль была не случайна. Во всяком случае, механику Гамильтон сознательно сформулировал в виде классического (коротковолнового) предела волновой теории (аналогично тому, как в его время геометрическая оптика была осознана как коротковолновый предел волновой оптики).