Окончил Гёттингенский университет (1908). Ученик Д. Гильберта. В 1913—1930 годах — профессор Цюрихского политехнического института, в 1930—1933 годах — профессор Гёттингенского университета, в 1933 после прихода к власти фашистов эмигрировал в США, работал в Принстоне в Институте перспективных исследований (Institute for Advanced Study).

Труды посвящены тригонометрическим рядам и рядам по ортогональным функциям, теории функций комплексного переменного, дифференциальным и интегральным уравнениям. Ввёл в теорию чисел т. н. «Суммы Вейля». Наиболее значительны работы Вейля по алгебре (в области теории непрерывных групп и их представлений) и теории функций комплексного переменного (где его книга 1913 «Die Idee der Riemannschen Fläche» — «Идея римановой поверхности» стала классической — вперые было совершенно строго определено понятие римановой поверхности которое немедленно можно было распространить на любое многообразие). Труды Вейля по прикладной линейной алгебре имели значение для последующего создания математического программирования, а работы в области математической логики и оснований математики до сих пор вызывают интерес (Вейль принадлежал к сторонникам т. н. интуиционизма ).

Большое значение имеют труды в области математической физики, где он вскоре после создания А. Эйнштейном общей теории относительности стал заниматься единой теорией поля. Хотя объединить тяготение и электромагнетизм не удалось, его теория калибровочной инвариантности в настоящее время (2007) приобрела огромное значение. Также Вейль известен применением теории групп к квантовой механике.