ЗАДАЧА № 81

Отгадчик

Мальчик с завязанными глазами безошибочно угадывает, в какой руке у вас гривенник. Делает он это так.

– Возьмите, – говорит он вам, – в одну руку гривенник, а в другую монету в 3 копейки.

Когда вы это сделали, он продолжает:

– Удвойте мысленно то, что у вас в правой руке, и утройте то, что в левой.

Вы исполняете его просьбу; тогда он просит вас сложить оба числа и спрашивает, получилось ли четное или же нечетное число.

– Четное, – отвечаете вы, например.

– Гривенник в левой руке, – тотчас же объявляет он, и всегда угадывает безошибочно.

Почему?

ЗАДАЧА № 82

Арифметический фокус

Хозяин просит одного из своих гостей написать на листке бумаги любое число из трех цифр.

– Но не показывайте мне, а прямо передайте листок своему соседу. Вы же, – обращается хозяин к этому соседу, – припишите к числу справа опять то же число. У вас получится длинное число из 6 цифр. Сделали? Передайте листок дальше.

– Что мне делать с этим шестизначным числом? – спрашивает гость, получивший записку.

– Разделите его на 13.

– А если не разделится?

– Разделится.

– Но ведь вы даже не знаете, какое у меня число! – возражает гость. – На 13 делится без остатка не всякое число.

– А это разделится, увидите.

Гость недоверчиво приступает к делению; действительно – число разделилось на 13 без остатка.

– Не говорите мне, сколько получилось, а передайте листок дальше, своему соседу, – говорит хозяин. – Вас я попрошу полученное число разделить на 11.

– А что делать с остатком?

– Остатка не будет, – заявляет хозяин. И в самом деле: остатка не получается.

– То число, которое у вас получилось от деления, передайте дальше и попросите соседа разделить его на 7, – продолжает распоряжаться хозяин.

– Неужели опять разделится без остатка? – недоумевает сосед.

– Именно так, – отвечает хозяин. – Разделили? Будьте добры теперь написать результат на отдельной бумажке и передайте эту бумажку мне.

Затем, не заглядывая в бумажку, хозяин передает ее тому гостю, который задумал число.

– Вот число, которое вы написали. Правильно?

– Верно! – изумляется гость. – Но откуда ж вы знаете? Ведь вы не видели ни моего числа, ни того, которое получилось?

И в самом деле, откуда он мог знать?

ЗАДАЧА № 83

Карточный фокус

Трудно самому угадать задуманную карту и еще труднее, казалось бы, заставить другого угадывать. Но существует способ превратить любого человека в безошибочного отгадчика задуманной вами карты.

Из колоды игральных карт вы берете одну карту, – допустим, валета пик, – кладете на стол, никому не показывая, и уверяете собеседника, что он может отгадать эту карту.

Он, конечно, заявляет, что не обладает подобным даром, – но вы настаиваете на своем. Между вами и им происходит такой разговор (напоминаю, что карта, лежащая на столе, – валет пик).

Вы начинаете:

– Есть четыре масти. Назовите из них две, какие угодно.

– Бубны и пики, – отвечает собеседник наобум.

– Из этих двух укажите одну.

– Пусть бубны, – с улыбкой продолжает отгадчик.

– Значит, остаются только пики. Далее: в колоде имеются туз, король, дама, валет, десятка и девятка. Выберите из этих шести карт три.

– Король, дама и девятка, – опять наобум отвечает собеседник.

– Остаются, следовательно, туз, валет и десятка. Выберите из них две карты.

– Туз и валет.

– А теперь укажите их них одну.

– Ну, туз.

– Остается, значит, только валет. Вот он!

И вы торжествующе переворачиваете карту: масть и название угаданы!

Ваш собеседник в недоумении: каким образом он все же сумел угадать карту… В чем секрет?

ЗАДАЧА № 84

Что получится?

Вырежьте из газеты ленту в 5 сантиметров шириною и в 80-100 сантим. длиною. Концы этой ленты склейте в кольцо, – но не просто, а предварительно закрутив ленту по длине два раза.

Рис. 73.

Вот как это надо сделать. На рисунке 73-м углы ленты обозначены цифрами; переверните один конец ленты так, чтобы сначала угол 3-й оказался не вверху, против угла 1-го, а внизу, против угла 2-го, и затем заверните тот же конец в ту же сторону еще раз, чтобы узел 3-й пришелся снова вверху против угла 1-го. В результате лента окажется дважды закрученной по длине. Теперь склейте концы ленты (рис. 74), – и у вас все готово для фокуса. Вы показываете эту заранее приготовленную ленту своим гостям и спрашиваете их:

– Что получится, если ленту разрезать вдоль посредине?

Всякий ответит вам, что, очевидно, из одного кольца получатся два – ничего другого и ожидать нельзя.

Но получится нечто неожиданное. Как вы думаете, что?

Еще неожиданнее будет то, что получится при разрезывании другого бумажного кольца, склеенного несколько иным образом. А именно: конец закручивают, как и раньше, но не два раза, а один раз (угол 3-й при склеивании придется против угла 2-го).

Что получится, если разрезать такую ленту вдоль посредине (рис. 75)?

Испытайте, – результат поразит вас!

ЗАДАЧА № 86

Игра в 32

В эту игру играют вдвоем. Положите на стол 32 спички. Тот, кто начинает играть, берет себе одну, две, три или четыре спички. Затем и другой берет себе сколько хочет спичек, но тоже не более 4-х. Потом опять первый берет не свыше 4-х спичек. И так далее. Кто возьмет последнюю спичку, тот и выиграет.

Игра очень простая, как видите. Но она любопытна тем, что тот, кто начинает игру, всегда может выиграть, – если только правильно рассчитает, сколько ему нужно брать.

Можете ли вы указать, как он должен играть, чтобы выиграть?

Игру «в 32» можно видоизменить: тот, кто берет последнюю спичку, не выигрывает, а, наоборот, проигрывает. Как следует здесь играть, чтобы наверняка выиграть?

Эта игра похожа на предыдущие. Она также ведется между двумя игроками и тоже состоит в том, что играющие поочередно берут не более 4 спичек. Но конец игры иной: выигравшим считается тот, у кого по окончании игры окажется четное число спичек.

И тут начинающий игру имеет преимущество. Он может так рассчитать свои ходы, что наверняка выиграет. В чем состоит секрет беспроигрышной игры?

При игре в 27 можно поставить и обратное условие: чтобы считался выигравшим тот, у кого после игры окажется нечетное число спичек.

Каков здесь способ беспроигрышной игры?

Можете ли вы из шести спичек составить четыре равносторонних треугольника, притом так, чтобы ни одна сторона ни одного треугольника не была короче спички?

Попытайтесь. И не отчаивайтесь в успехе, если вам долго не удастся решить задачи, потому что она все-таки разрешима и даже без особых хитростей.

Не бойтесь также и подлога в условии задачи, – ее надо понимать именно так, как было сказано: составить из 6 спичек 4 равносторонних треугольника.

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ №№ 81-90

Когда вы удваиваете или утраиваете четное число, вы всегда получаете в результате тоже четное число. Другое дело с числом нечетным: при удвоении оно становится четным, но при утроении остается нечетным. Гривенник, следовательно, дает четное число и при удвоении, и при утроении; напротив, 3 копейки дают четное только при удвоении; утроенные они дают число нечетное. Мы знаем также, что, складывая четное число с четным, получим четное, а складывая четное и нечетное, получим нечетное число.

Отсюда прямо вытекает, что если в нашем фокусе сумма оказалась четной, значит, три коп. были удвоены, а не утроены, – т. е. находились в правой руке.

Если бы сумма была нечетной, это означало бы, что три коп. подверглись утроению и, следовательно, находились в левой руке.

Секрет фокуса кроется в том, что второй гость, приписывая к задуманному трехзначному числу то же число, умножил его на 1001, сам того не подозревая. Действительно: если, например, первый гость задумал число

873,

то у второго гостя получилось число

873873.

Но ведь это не что иное, как

873000+873, т. е. 873x1001.

А число 1001 – замечательное число: оно получается от умножения 7x11x13.

Не удивительно поэтому, что хозяин уверенно предлагал делить такое шестизначное число сначала на 13, потом на 11, потом на 7.

Разделить же последовательно на 13, на 11 и на 7 все равно, что делить на 13x11x7, т. е. на 1001.

Итак, второй гость умножил задуманное число на 1001, а три следующих гостя совместно разделили полученное им число на 1001. Вот почему в результате снова получилось задуманное число.

Этот курьезный фокус, в сущности, прост до смешного. Его разгадка ясна хотя бы, например, уже из того, что если бы на последний вопрос вам ответили не «туз», а прямо «валет» – успех отгадывания был бы не менее блестящий. Вообще, весь секрет фокуса вот в чем: сообразно с тем, что вам нужно, вы сосредоточиваете внимание собеседника либо на тех картах, которые им названы, либо же на тех, которые не названы. А так как задуманная карта непременно должна оказаться либо среди названных, либо среди не названных, то нисколько не удивительно, что собеседник ваш всегда «отгадывает» безошибочно.

Разумеется, когда вы проделаете этот фокус подряд несколько раз, уловка будет раскрыта. Но если не злоупотреблять недогадливостью слушателя, то можно поставить в тупик самого находчивого человека.

Получаются два кольца, но продетые одно в другое, как звенья цепи (рис. 76).

Если каждое из этих колец вы снова разрежете вдоль, вы опять получите по два кольца, продетые одно в другое. Решение задачи № 85

При разрезывании этого кольца вдоль получится, вопреки всем ожиданиям, не два кольца, а… одно, вдвое большее (рис. 77)!

Наша изогнутая лента, обладающая столь удивительным свойством не разъединяться при разрезывании, называется в геометрии «поверхностью Мебиуса», по имени знаменитого математика прошлого века. Другая замечательная особенность нашего кольца состоит в том, что у него нет «лицевой стороны» и «изнанки»; «лицо» ленты постепенно переходит в «изнанку», так что невозможно указать, где кончается одна сторона и начинается другая. Если бы вы пожелали, например, покрасить одну сторону нашей бумажной ленты, скажем, в красный цвет, а другую оставить некрашеной, то не могли бы выполнить этого: у нашей ленты нет двух сторон, она односторонняя [7] .

Но вернемся к разрезыванию нашей ленты. Если, разрезав ее вдоль и получив одно кольцо, вы разрежете новое кольцо, у вас получится на этот раз два кольца (рис. 78).

Однако разнять их вы не сможете: они запутаны одно в другом сложным гордиевым узлом, который можно рассечь только ножницами. Решение задачи № 86

Нехитрый секрет беспроигрышной игры найти довольно легко, если попробовать сыграть партию с конца. Нетрудно видеть, что если предпоследним нашим ходом вы оставите партнеру на столе 5 спичек, – то выигрыш для вас обеспечен: партнер не может взять больше 4-х спичек, и, следовательно, вы можете взять после него все остальное. Но как устроить, чтобы вы наверняка могли предпоследним ходом оставить на столе 5 спичек? Для этого необходимо предшествующим ходом оставить противнику ровно 10 спичек: тогда, сколько бы он ни взял, он не оставит вам меньше 6, – и вы всегда сможете оставить ему 5. Далее: как достичь того, чтобы партнеру пришлось брать из 10 спичек? Для этого надо в предыдущий ход оставить на столе 15 спичек.

Так, последовательно вычитая по 5, мы узнаем, что на столе надо оставить 20 спичек, а еще ранее – 25 спичек, и наконец в первый раз – 30 спичек, – т. е., начиная игру, взять 2 спички.

Итак, вот секрет беспроигрышной игры: сначала берите 2 спички; затем – после того, как партнер взял несколько спичек, – берите столько, чтобы на столе осталось 25; в следующий раз оставьте на столе 20, потом 15, потом 10 и, наконец, 5. Последняя спичка всегда останется за вами.

Если условие игры обратное – т. е. взявший последнюю спичку считается проигравшим, – то вам надо в предпоследний ваш ход оставить на столе 6 спичек; тогда, сколько бы ни взял ваш партнер, он не может оставить вам меньше 2 и больше 5, т. е. вы во всяком случае сможете следующим ходом последнюю спичку оставить ему. Но как привести к тому, чтобы оставить на столе 6 спичек? Для этого надо предшествующим ходом оставить на столе 11 спичек, а еще более ранними ходами – 16, 21, 26 и 31 спичку.

Итак, вы начинаете с того, что берете всего 1 спичку, а дальнейшими ходами оставляете нашему партнеру 26, 21, 16, 11 и 6 спичек; последняя спичка неизбежно достается противнику.

Здесь разыскать способ беспроигрышной игры несколько труднее, чем при игре в 32.

Надо исходить из следующих двух соображений:

1) Если у вас перед концом партии нечетное число спичек, вы должны оставить противнику 5 спичек, – и ваш выигрыш обеспечен. В самом деле: следующим ходом противник оставит нам 4, 3, 2 или 1 спичку; если 4 – вы берете 3 и выигрываете; если 3 – выберете их, и выигрываете; если 2 – вы берете 1 и выигрываете.

2) Если же перед концом игры у вас оказывается четное число спичек, то вы должны оставить противнику 6 или 7 спичек. В самом деле: проследим, как пойдет дальнейшая игра. Если противник следующим ходом оставляет вам 6 спичек, вы берете 1 и, обладая теперь уже нечетным числом спичек, спокойно оставляете противнику 5 спичек, с которыми он должен неизбежно проиграть. Если он оставит вам не 6, а 5 спичек, вы берете 4 и выигрываете. Если оставит 4 – вы их берете и выигрываете. Если оставит 3 – вы берете 2 и выигрываете, И наконец, если оставит 2, – вы выигрываете. Меньше 2 он оставить не может.

Теперь уже не трудно найти способ беспроигрышной игры. Он состоит в том, что вы должны, имея у себя нечетное число спичек, оставлять противнику на столе такое число их, которое на 1 меньше кратного 6, – т. е. 5, 11, 17, 23; имея же четное число спичек, вы должны оставить противнику на столе число спичек, кратное 6, или на 1 больше, – т. е. 6 или 7, 12 или 13, 18 или 19, 24 или 25. Нуль можно считать четным числом; поэтому, начиная игру, вы должны взять из 27 спичек 2 или 3, а в дальнейшем поступать согласно предыдущему. Ведя так игру, вы неизбежно выиграете. Не давайте только противнику выхватить у вас нить игры.

Если условие игры обратное и выигравшим считается обладатель нечетного числа, вы должны поступать при игре следующим образом: имея четное число спичек, оставляйте противнику на 1 меньше, чем кратное 6-ти; имея же нечетное число, – оставляйте ему кратное 6-ти или на 1 больше. Это неизбежно должно привести вас к выигрышу. Начиная игру, вы имеете 0 спичек (т. е. как бы четное число); поэтому первым ходом вы берете 4 спички, оставляя противнику 23.

Вы, вероятно, пытались составить шесть треугольников, располагая спички в одной плоскости. И, конечно, безуспешно, потому что так задача неразрешима. Но ведь такого ограничения задача не ставит; вы можете располагать треугольники и не в одной плоскости, т. е. размещать их в пространстве. И тогда она решается очень просто: стоит лишь построить из 6 спичек пирамиду с треугольным основанием и треугольными боками, как показано на рис. 79-м. У вас получается 4 равносторонних треугольника из 6 спичек.