Воскресенье, 24.01.2021, 16:06
Ш  К  О  Л  А     П  И  Ф  А  Г  О  Р  А
      Предмет математики настолько серьезен, что нужно
не упускать случая, сделать его немного занимательным".
                                                                           Блез Паскаль
Главная | Регистрация | Вход Приветствую Вас Гость | RSS
ПАМЯТКИ ПО МАТЕМАТИКЕ   ВЕЛИКИЕ МАТЕМАТИКИ   ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ   МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
УРОКИ МАТЕМАТИКИ В ШКОЛЕ


МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КЛАДОВАЯ


В МИРЕ ЗАДАЧ
ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ
МАТЕМАТИКА В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ
ВАРИ, КОТЕЛОК!
УДИВИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
В МИРЕ ИНТЕРЕСНОГО
Категории раздела
КАРТОЧКИ ПО АЛГЕБРЕ [23]
КАРТОЧКИ ПО ГЕОМЕТРИИ [17]
МАТЕМАТИКА В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ [84]
МАТЕМАТИКА В 4 КЛАССЕ [19]
МАТЕМАТИКА В 5 КЛАССЕ [114]
ВЕЛИКИЕ МАТЕМАТИКИ [79]
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ВСЕЛЕННАЯ [50]
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СКАЗКИ В КАРТИНКАХ [8]
КАРТОЧКИ ПО МАТЕМАТИКЕ [4]
ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА [188]
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ [265]
ДЕНЬГИ [23]
ЛИЧНОСТЬ В НАУКЕ [87]
БЕЙСИК ДЛЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ [40]
ИНФОРМАТИКА В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ [82]
ПАМЯТКИ ПО МАТЕМАТИКЕ [193]
ЗАБАВНЫЕ ЗАДАЧИ ЯКОВА ПЕРЕЛЬМАНА [20]
ВИКТОРИНЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ [6]
БАЗЫ ДАННЫХ [74]
САМОУЧИТЕЛЬ "СЛЕПОЙ" ПЕЧАТИ НА КОМПЬЮТЕРЕ [20]
РАБОТАЕМ В Microsoft Office [18]
АППАРАТНЫЕ СРЕДСТВА ПЕРСОНАЛЬНОГО КОМПЬЮТЕРА [44]
ОСНОВЫ ИНФОРМАТИКИ ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ И СТУДЕНТОВ [77]
СОВЕТЫ ПО ОБУСТРОЙСТВУ КОМПЬЮТЕРА [72]
МАТЕМАТИКА В 6 КЛАССЕ [148]
МАТЕМАТИКА В 7 КЛАССЕ [85]
МАТЕМАТИКА В 8 КЛАССЕ [36]
МАТЕМАТИКА В 9 КЛАССЕ [153]
ЖИВОЙ УЧЕБНИК ГЕОМЕТРИИ [92]
УДИВИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА [33]
ВЕЛИКАЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА [45]
МАТЕМАТИКА В 11 КЛАССЕ [41]
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ [31]
ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ПО ИНФОРМАТИКЕ ДЛЯ 5-6 КЛАССОВ [17]
ОБУЧАЮЩИЕ РАБОТЫ ПО ГЕОМЕТРИИ. 7 КЛАСС [19]
Статистика

Онлайн всего: 4
Гостей: 4
Пользователей: 0
Форма входа

Главная » Статьи » УДИВИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА

Односторонняя игра
Как-то раз Сэм-старший и его сын, начинающий вкушать плоды математического просвещения, поспорив по какому-то малозначительному поводу, заключили пари, и Сэм-младший предложил отцу, чтобы проигравший не платил выигравшему обычную ставку в несколько долларов, а сыграл с ним в игру, которая бы и определила, сколько нужно уплатить.

— Игра очень простая, — убеждал отца Сэм-младший, — мы просто бросим монету. Предположим, что ты проиграл пари. Мы бросаем монету, и если ты угадываешь исход бросания, то на этом все и кончается, и ты мне ничего не должен. С другой стороны, если исход бросания предсказан тобой неверно, то ты платишь мне 2 доллара, и мы бросаем монету второй раз. Если ты правильно угадываешь исход второго бросания, то игра на этом заканчивается и ты мне ничего больше не платишь. Таким образом, в этом случае я получаю от тебя всего 2 доллара. Если же исход второго бросания угадан тобой неверно, то ты платишь мне еще 4 доллара и т. д. Каждый раз, когда ты не угадываешь исход бросания, тебе придется уплатить мне вдвое больше, чем в предыдущий раз.

Игра продолжается лишь до тех пор, пока ты неверно предсказываешь исход бросания монеты. Как только ты угадываешь исход бросания, игра прекращается, и ты больше мне ничего не платишь. Идет?

— Идет! — согласился Сэм-старший, в котором проснулся азарт игрока. — Даже если я проиграю пари, то у меня останется шанс пятьдесят на пятьдесят остаться при своих, а если я не угадаю исход первого бросания, то затем мне вскоре все равно удастся правильно предсказать исход другого бросания, и я все же выиграю.

На следующий день выяснилось, что Сэм-старший проиграл пари. Пришлось бросать монету, чтобы выяснить, сколько он должен уплатить Сэму-младшему.

— А почему бы нам не оценить математически, сколько ты мне должен, вместо того чтобы по-настоящему бросать монету? Если ты против, я охотно все подсчитаю. Ведь ты же сам хотел, чтобы я изучал математику, так почему бы мне не воспользоваться тем, чему меня научили?

— Валяй, — неохотно согласился Сэм-старший. Разумеется, он предпочел бы попросту, без затей, бросать монету. — Только объясни мне понятно, как ты делаешь все эти математические вычисления, чтобы определить, сколько я тебе должен. Если все будет правильно, то я, конечно, уплачу сколько надо.

— Не бойся, все очень просто, и ты легко поймешь суть дела без всякой математики. При первом бросании я могу с одинаковыми шансами не получить ничего или выиграть 2 доллара. Поэтому я поступлю честно, если попрошу тебя уплатить мне 1 доллар вместо того, чтобы бросать монету.

— Достаточно честно, — подтвердил Сэм-старший.

— Хорошо! А что ты скажешь по поводу второго бросания? Ведь если я выиграю, то получу 4 доллара. Существует 1 шанс против 2, что монету вообще придется бросать второй раз, поскольку это произойдет только в том случае, если ты не угадаешь исход первого бросания. Но если нам все же придется бросать монету во второй раз, то существует 1 шанс против 2, что я выиграю и получу от тебя 4 доллара. Следовательно, только в 1 случае из 4 я получу эти 4 доллара, если мы «по-настоящему» станем бросать монету. Поэтому предлагаю тебе уплатить мне четвертую часть от 4 долларов, т. е. 1 доллар, чтобы мы обошлись без бросания монеты.

— Гм, — забеспокоился Сэм-старший, — за то, что мы не будем бросать монету по-настоящему во второй раз, я должен уплатить тебе 1 доллар. А что ты скажешь о третьем бросании? Оно тоже обойдется мне в 1 доллар?

— Конечно, — подтвердил Сэм-младший. — За третье бросание я мог бы выиграть и 8 долларов, разумеется, если бы до него дошло дело, а это может случиться только в том случае, если я выиграю первые два бросания. Вероятность такого события (двух моих выигрышей) равна 1/4. Кроме того, если мы бросим монету в третий раз, то я могу выиграть только с вероятностью 1/2, поэтому вероятность выиграть 8 долларов равна 1/8. Те же соображения остаются в силе и относительно любого последующего бросания, поэтому я могу попросить у тебя по 1 доллару за каждое из бесконечной серии бросаний. Разумеется, на твоем счете в банке нет такого количества долларов, но я человек не злой и обойдусь с тобой по-хорошему: ты дашь мне всего лишь 10 тысяч долларов, которые я хочу израсходовать на покупку нового спортивного автомобиля.

— Ничего себе «по-хорошему!» — взорвался от негодования Сэм- старший. — Да ты просто юный мошенник! Вот как ты используешь свое математическое образование! Впрочем, придется тебе подождать до завтра — возможно, мне удастся найти слабое место в твоих рассуждениях.

Весь день до самого вечера Сэм снова и снова перебирал в уме рассуждения сына, но никак не мог обнаружить в них ошибки. Все выглядело так, словно он, Сэм-старший, действительно должен был платить сыну по 1 доллару за каждое последующее бросание монеты и таким образом отдать Сэму-младшему все свои деньги. Доведенный почти до отчаяния, Сэм-старший вдруг вспомнил, что частенько встречал в клубе невысокого седоголового человека, о котором говорили, что он отставной профессор математики.

— Ну разве мой сын не умница? — со смешанными чувствами подумал Сэм-старший. — Насколько мне помнится, тот пожилой джентльмен всегда проигрывал, несмотря на все свои познания в математике.

Отыскав имя и адрес профессора в книге регистрации членов клуба, Сэм-старший в тот же вечер постучал в дверь дома, где жил профессор.

— Хочу сделать вам предложение, — заявил Сэм профессору. — Я берусь оплатить все ваши долги в клубе, если вы поможете мне решить одну математическую задачу.

И Сэм-старший поведал профессору свои затруднения.

— Очень любезно с вашей стороны, — ответил профессор, потирая руки. — Трюк, к которому прибег ваш сын, известен в теории вероятностей под названием Петербургского парадокса и был придумал швейцарским математиком Леонардом Эйлером, состоявшим в ту пору на службе при российском императорском дворе. Не сочтите за нескромность, но могу ли я спросить, сколько денег на вашем банковском счете?

— Но я вовсе не желаю выплачивать все свои деньги этому мальчишке!

— А вам и не придется этого делать! Размеры вашего банковского счета необходимы мне для того, чтобы оценить, сколько раз вам придется сыграть в вашу игру.

Суть дела заключается в следующем: хотя абсолютно верно, что за каждое последующее бросание монеты вы должны платить сыну по 1 доллару, учитывать вы должны только то количество бросаний, которое вам по силам оплатить до того, как вы полностью разоритесь и станете банкротом.

Если вы сыграете с сыном п игр, все время проигрывая, то вам придется уплатить сыну 2 + 4 + 8 + 16 +… + 2n долларов. Это не что иное, как геометрическая прогрессия и ее сумма равна числу 2, умноженному на самого себя столько раз, сколько игр вы сыграете, плюс еще 1 раз. минус 2. Математически это можно записать как



Это число очень быстро возрастает с числом бросаний монеты. Пример: если вы неправильно угадаете исходы 10 первых бросаний, то вам придется уплатить сыну 2n+1 — 2 при n = 10, т. е. 211 — 2 = 2046 долларов. Думаю, что на вашем счете в банке денег больше?

— Да, у меня около полумиллиона долларов, — откровенно признался Сэм.

— Чтобы проиграть полмиллиона долларов, вам потребуется подряд не угадать исходы 18 бросаний монеты. Если вы не угадаете исход 19-го бросания, то у вас не хватит денег, чтобы расплатиться. Поэтому ваш сын может рассчитывать не более чем на 18 бросаний, а вы должны уплатить ему 18 долларов. Можете сделать это завтра утром.

— Миллион благодарностей, профессор! — воскликнул Сэм-Игрок. — Жаль, что сын уже почти взрослый, и я не могу выпороть его ремнем! Восемнадцать долларов были бы очень кстати! Всего доброго, сэр! Буду счастлив оплатить все ваши долги в клубе!

Категория: УДИВИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА | Добавил: admin (06.11.2014)
Просмотров: 491 | Теги: интересные задания по математике, математика в рассказах, хрестоматия по математике, занимательная математика, дидактический материал по математик | Рейтинг: 0.0/0
УЧИТЕЛЮ ИНФОРМАТИКИ
КОНСПЕКТЫ УРОКОВ
ВНЕКЛАССНЫЕ МЕРОПРИЯТИЯ ПО ИНФОРМАТИКЕ
ПОСОБИЯ И МЕТОДИЧКИ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ ИНФОРМАТИКИ
ИЗ ОПЫТА РАБОТЫ УЧИТЕЛЯ ИНФОРМАТИКИ
ЗАДАНИЯ ШКОЛЬНОЙ ОЛИМПИАДЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ


ИНФОРМАТИКА В ШКОЛЕ


ИНФОРМАТИКА В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ
ИНФОРМАТИКА В 3 КЛАССЕ
ИНФОРМАТИКА В 4 КЛАССЕ
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ. 3 КЛАСС
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ. 4 КЛАСС
ПРОГРАММИРОВАНИЕ ДЛЯ ДЕТЕЙ
СКАЗКА "ПРИКЛЮЧЕНИЯ ЭЛЕКТРОШИ"
ИГРОВЫЕ ТЕХНОЛОГИИ НА УРОКАХ ИНФОРМАТИКИ
ИГРОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ИНФОРМАТИКЕ
ВИКТОРИНЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ
КОМПЬЮТЕРНЫЕ ЧАСТУШКИ
ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ
Поиск


Друзья сайта
  • Создать сайт
  • Все для веб-мастера
  • Программы для всех
  • Мир развлечений
  • Лучшие сайты Рунета
  • Кулинарные рецепты

  • Copyright MyCorp © 2021
    Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru