Пусть требуется определить длину касательной к (черт. 212), если радиус круга R, а кратчайшее расстояние от начала касательной до окружности – b. Проведя радиус к точке касания, имеем прямоугольный треугольник, в котором
[b+ R]2= R2+ k2.
Раскрыв скобки, получаем
b2+ 2bR+ R2= R2+ k2.
Отсюда
k2= b2+ 2bR = b [b + 2R2].
Это соотношение можно выразить словесно так:
к в а д р а т к а с а т е л ь н о й р а в
е н п р о и з в е д е н и ю в с е й т е к у щ е й, п р о в е д е н н о й
и з н а ч а л а к а с а т е л ь н о й ч е р е з ц е н т р, н а в н е ш н
и й о т р е з о к э т о й с е к у щ е й.
Применения
95. Как далеко можно видеть в море с маяка высотою 30 метров?
Р е ш е н и е. Так как поверхность моря
шарообразна, то дальность видимости определяется длиной касательной,
проведенной из верхушки маяка к кругу, радиус которого равен радиусу
земного шара (6400 км). Поэтому искомая даль-ность х определяется из равенства
x2= 30 [12 800 000 + 30].
(Слагаемым 30 в данном случае можно пренебречь). Получаем х = около 20 км.
96. Как высоко должен подняться летчик, чтобы видеть за 200 километров?
Р е ш е н и е. В этом случае, в отличие
от предыдущего, известна длина касательной, и ищется внешний отрезок
секущей, проходящей через центр круга радиус которого 6400 км. Поэтому
искомая высота у определяется из уравнения
2002= у [12 800 + y].
Слагаемое у, очевидно, весьма мало по сравнению с диаметром земного шара. Пренебрегая им, имеем
2002= 12 800 у,
Откуда
2002/12800 = 2,3 км.
Следовательно, искомая высота = 23 км. | 
