Вообразим, что прямоугольный треугольник ABC (черт. 239) вращается вокруг катета АВ, как дверь на петлях; вращаясь, он словно вырежет из пространства тело, называемое конусом. Круг, описанный катетом ВС, назы вается о с н о в а н и е м конуса, отрезок AS в ы с о т о ю конуса, а АС – его образующей.
Чтобы найти правило для вычисления б о к о
в о й п о в е р х н о с т и конуса, представим себе ее развернутой на
плоскости (черт. 240). Получится сектор, радиус которого равен
«образующей» конуса, а длина дуги – длине окружности основания конуса.
Площадь этого сектора равна боковой поверхности конуса. Мы знаем, что
площадь сектора (§ 63) равна длине его дуги, умноженной на половину
радиуса. Следовательно,
б о к о в а я п о в е р х н о с т ь к о н
у с а р а в н а п о л о в и н е п р о и з в е д е н и я д л и н ы е г о
о к р у ж н о с т и н а о б р а з у ю щ у ю. Обозначив радиус основания
конуса через R, а образующую через l, получаем для боковой поверхности Sконуса формулу:
S= ? ? 2?R ? l= ?Rl.
Правило вычисления объема конуса можно
установить, рассматривая конус, как пирамиду с весьма большим числом
боковых граней. Тогда можно применить к конусу правило вычисления объема
пирамиды, заменив основание пирамиды основанием конуса, а ее высоту –
высотой конуса. Для объема W конуса получим формулу
V = 1/3 ?R2h,
где R – радиус основания конуса.
Повторительные вопросы
Что называется конусом? – Что называется
его основанием, высотою, образующей? – Как вычисляются боковая
поверхность и объем конуса? – Как выражаются эти правила формулами?
Применения
120. Вычислить полную поверхность и объем конуса, диаметр основания которого 92 см, а образующая – 85 см. Р е ш е н и е. Полная поверхность этого конуса
? ? 46 ? 85 + ? ? 462= 19 000 кв. см.
Для определения объема конуса вычисляем его высоту. Она равна
Объем конуса
1/3 ? ? ? 462 ? 71 = 160 000 куб. см.
121. Куча песку имеет форму конуса,
окружность основания которого 14 м, а высота – 2 м. Сколько возов песку в
этой куче? На воз идет 0,3 куб. м песку.
16 Р е ш е н и е. Радиус основания конической кучи =16/2? = 2,6 м. Площадь основания 5,1 кв. м, и, следовательно, объем кучи = 1/3 ? 5,1 ? 2 = 3,4 куб. м. В куче 11 с лишним возов.
122. Из цилиндра с диаметром основания
23 см и высотою 19 см надо выточить конус вчетверо меньшего объема с
диаметром основания 20 см. Вычислить высоту конуса и угол при вершине.
Р е ш е н и е. Объем цилиндра = 1/4 ? ? ? 232? 18 = 7500 куб. см. Значит, объем конуса = 1900 куб: см. Его высота x определяется из уравнения 1/3 ? ? ? 102? x = 1900, откуда x = 18 см. Высота конуса должна равняться высоте цилиндра.
Тангенс половины угла при вершине равен =10/18 = 0,56, откуда искомый угол = 58°. | 
