|
От треугольников перейдем к
четырехугольникам, т. е. к фигурам, ограниченным 4-мя сторонами.
Примером четырехугольника может служить к в а д р а т – такой
четырехугольник, все стороны которого равны, а все углы-прямые (черт.
76). Другой вид четырехугольника, тоже часто встречающийся, – п р я м о у
г о л ь н и к:
так называется всякий четырехугольник с
4-мя прямыми углами (черт. 77 и 78). Квадрат – тоже прямоугольник, но с
равными сторонами.
Особенность прямоугольника (и квадрата) та, что обе пары его противоположных сторон п а р а л л е л ь н ы. В прямоугольнике ABCD, например (черт. 78), АВ параллельно DC, a ADпараллельно ВС. Это
следует из того, что обе противолежащие стороны перпендикулярны к одной
и той же прямой, а мы знаем, что два перпендикуляра к одной прямой
параллельны между собою (§ 16).
Другое свойство каждого прямоугольника то,
что противоположные его стороны равны между собою. В этом можно
убедиться, если соединить противоположные вершины прямоугольника прямой
линией, т. е. провести в нем диагональ. Соединив А с С (черт. 79) мы получим два треугольника АВС и ADC. Легко показать, что эти треугольники равны друг другу: сторона АС – общая, уг. 1 = уг. 2, потому что это перекрестные углы при параллельных АВ и CDпо такой же причине равны углы 3 и 4. По стороне же и двум углам треугольники ABCи ACDравны; следовательно, сторона АВ = стороне DС, и сторона AD= стороне ВС.
Такие четыреугольники, у которых, как у
прямоугольников, противоположные стороны п а р а л л е л ь н ы,
называются параллело граммами. На черт. 80 изображен пример
параллелограмма: АВ параллельно DС, а ADпараллельно BС.Черт.80
Прямоугольник – один из параллелограммов, а
именно такой, у которого все углы прямые. Легко убедиться, что каждый
параллелограмм обладает следующими свойствами:
П р о т и в о п о л о ж н ы е у г л ы п а р а л л ел о г р а м м а р а в н ы; п р о т и в о п о л о ж н ы е с т о р о н ы
п а р а л л е л о г р а м м а р а в н ы.
Чтобы убедиться в этом, проведем в параллелограмме ABCD(черт. 81) прямую ВD (диагональ) и сравним треугольники ABDи ВDC. Эти треугольники равны (случай УСУ): BD– общая сторона; уг. 1 = уг. 2, уг. 3 = уг. 4 (почему?). Отсюда вытекают перечисленные раньше свойства.
Параллелограмм с четырьмя равными сторонами называется р о м б о м.
Повторительные вопросы
Какая фигура называется квадратом?
Прямоугольником? – Что называется диагональю? – Какая фигура называется
параллелограммом? Ромбом? – Укажите свойства углов и сторон всякого
параллелограмма. – Какой прямоугольник называется квадратом? – Какой
параллелограмм называется прямоугольником? – В чем сходство и различие
между квадратом и ромбом.
Применения
15. Квадрат чертят так: отложив одну
сторону проводят к ней на концах перпендикуляры, откладывают на них
такие же длины и соединяют концы прямой линией (черт. 82). Как
убедиться, что четвертая сторона, начерченного четырехугольника равна
трем остальным и что все углы его прямые?
Р е ш е н и е. Если построение велось так, что к стороне АВ в точках А и В были проведены перпендикуляры, на которых отложены: АС = АВ и DВ = AB, то остается доказать, что углы С и Dпрямые и что CDравно АВ. Для этого проведем (черт. 83) диагональ AD. Уг. CAD= ADB, как соответственные (при каких параллельных?); АС = DB, а потому треугольники CADи BADравны (по признаку СУС). Отсюда выводим, что CD= ABи уг. С = прямому углу В. Как доказать, что четвертый угол CDBтоже прямой?
16. Как начертить прямоугольник? Почему
начерченная фигура может быть названа прямоугольником? (Показать, что
все углы начерченной фигуры прямые).
Р е ш е н и е сходно с решением предыдущей задачи.
17. Докажите, что обе диагонали прямоугольника равны.
Р е ш е н и е (черт. 84) вытекает из равенства треугольников АВС и АВD (по признаку СУС).
18. Докажите, что диагонали параллелограмма делят друг друга пополам.
Р е ш е н и е. Сравнивая (черт. 85) треугольники АВО и DСО, убеждаемся, что они равны (по признаку УСУ). Отсюда АО = ОС, 0В = ОD.
19. Длина общего перпендикуляра между
двумя параллельными прямыми называется р а с с т о я н и е м между ними.
Докажите, что расстояние между параллельными всюду одинаково.
У к а з а н и е: Какую фигуру образуют параллельные линии с двумя перпендикулярами между ними? | 
