Пусть у нас имеется правильный многоугольник о nсторонах. Чтобы определить его площадь, соединим его центр со всеми вершинами: многоугольник разделится на nравных треугольников (почему они равны?). Если сторона многоугольника а, а апофема, т. е. высота каждого треугольника – l, то площадь одного треугольника равна ?аl, а всех треугольников в nраз больше:
n?? аl= ? nal.
Это и есть формула для вычисления площади
правильного многоугольника. Ее можно несколько видоизменить, если
принять во внимание, что na – есть сумма сторон многоугольника, т. е. его периметр P. Поэтому полученную сейчас формулу можно представить в таком виде:
S= ?Pl.
Словесно правило вычисления площади правильного многоугольника можно высказать так:
п л о щ а д ь п р а в и л ь н о г о м н о
г о у г о л ь н и к а р а в н а п о л о в и н е п р о и з в е д е н и я е г о п е р и м е т р а н а а п о ф е м у.
Применения
102. Какова должна быть сторона шестиугольной шашки торцовой мостовой, чтобы на 1 кв. метр шло 30 шашек?
Р е ш е н и е. Если искомая сторона шашки x, то площадь
основания = 6x1/2 апофемы. Апофема
=x?3/2 следовательно площадь = 6x?x?3/4=3x2?3/4 30 таких площадей равны
1 кв. м =10 000 кв. см. Имеем уравнение
30 ? 3x2?3/4 =10 000, откуда х = около 27 см.
103. Чему равна площадь сегмента, отсекаемого хордой равной радиусу R круга.
| 
